R´ eflexion de rayons sur une parabole
On consid`ere la parabole P d’´equation y = x2. On s’int´eresse dans cet exercice aux propri´et´es de r´eflexions de la parabole de rayons incidents parall`ele `a l’axe de la parabole, c’est-`a-dire de rayons dirig´es par le vecteur −→
ui(0; 1).
On se place dans un rep`ere orthonormal et, pour tout r´eel a, on note A le point de P d’abscisse a, Ta la tangente `a P en A et −→
na un vecteur normal `a Ta. D’apr`es la loi de Snell-Descartes, un tel rayon incident dirig´e par le vecteur −→
ui est r´eflechi dans la direction −→
ur tel que les angles (−→ na,−→
ui) = (−→ ur,−→
na).
I- Repr´esentation graphique - Conjecture
Repr´esenter le rayon incident sur la parabole au point d’abscisse a= 3, la tangente T3, le vecteur
−
→n3 et le rayon r´eflechi correspondant.
Repr´esenter de mˆeme les rayons incidents, tangentes, normales et rayons r´efl´echis aux points d’abscisses a=−3,a = 2, a=−2 et a= 1.
Quelle remarque/conjecture peut-on faire ?
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
10 15
A
T3
II- Cas particulier : On prend pour la suite a= 2.
1. Donner l’´equation deTa.
2. Donner les coordonn´ees d’un vecteur −→ na. 3. On note θ= (−→
na,−→
ui) et −→
ur un vecteur unitaire tel que (−→ ur,−→
na) =θ a) Montrer que −→
ui ·−→ na =−→
ur·−→ na. b) On note les coordonn´ees −→
ur(α;β). Calculer α et β.
c) Donner l’´equation de la droite dr dirig´ee par −→
ur et passant par A.
d) On noteF l’intersection de dr et de l’axe des ordonn´ees. Calculer les coordonn´ees de F. III- Cas g´en´eral
Reprendre la partie pr´ec´edente pour un r´eel a quelconque.
Calculer finalement les coordonn´ees du point Fa intersection de dr et de l’axe des ordonn´ees.
Conclure.
Y. Morel - xymaths.free.fr R´eflexion de rayons sur une parabole - 1/1
