On consid` ere la base de R

On consid` ere la base de R

suivante : B = {~ v

=





−1 0 3



 , ~ v

=



 0 1 5



 , ~ v

=



 4

−2 0



}.

Donner le vecteur de coordonn´ ees de

~ v =



 3

−5 10



 dans la base B .

(A) (~ v)

=



 1

−5 1



 ;

(B) (~ v)

=



 5

−1 2



 ;

 10/3 

On consid` ere les bases de R

suivantes : B = {~ v

=

1 1

, ~ v

=

1

−1

}

et

B

= { v ~

=

1 0

, ~ v

=

0 1

}

Donner la matrice de passage P

de B ` a B

.

(A) P

=

1 1 1 −1

;

(B) P

=

1/2 1/2 1/2 −1/2

;

Laquelle des applications suivantes n’est pas lin´ eaire ?

(A) f : R

→ R

,

x y

7→

x − 2y x

;

(B) g : R

→ R

,

x y

7→

x y + 1

;

(C) h : R

→ R

,

x y

7→

x y

.

(D) Au moins deux de ces applications

ne sont pas lin´ eaires.

Soit f : R

→ R

une application lin´ eaire.

(A) Alors on a f ( ~ 0) = ~ 0.

(B) Alors on a f ( ~ 0) 6= ~ 0.

(C) Si f ( ~ 0) = ~ 0 ou f ( ~ 0) 6= ~ 0 d´ epend de

l’application f .

Soit A ∈ M

( R ) une matrice de taille m×n. On consid` ere l’application lin´ eaire

f : R

→ R

, x 7→ A · x

(A) Alors on a rang(f ) ≤ n.

(B) Alors on a rang(f ) ≤ m.

(C) Alors on a rang(f ) ≤ min(m, n).

(D) Toutes les r´ eponses pr´ ec´ edentes

sont vraies.