Exercice 1. On consid` ere les applications de R

UPMC - L1 2010-2011 LM125

Chapitre 3 (bis) Applications lin´ eaires

Exercice 1. On consid` ere les applications de R

dans lui-mˆ eme d´ efinies par f : (x, y) 7→ (x, 0) et g : (x, y) 7→ (0, y).

1. V´ erifier que f et g sont lin´ eaires.

2. Calculer f ◦ f , g ◦ g, f + g, f ◦ g et g ◦ f .

Exercice 2. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont lin´ eaires ?

1. Les applications de R

dans R

d´ efinies par f

((x, y)) = (x + y, x − y), f

((x, y)) = (x, y), f

((x, y)) = (x, y

).

2. Les applications de R

dans R d´ efinies par f

((x, y)) = x, f

((x, y)) = xy, f

((x, y)) =

|x + y|.

3. Les applications de M

( R ) dans R d´ efinies par f

(M ) = tr(M ), f

(M ) = tr(M

), f

(M ) = m

(o` u M = (m

)).

4. Les applications de C

(R, R) dans lui-mˆ eme d´ efinies par f

(h) = h

, f

(h) = h ◦ g et f

(h) = g ◦ h, o` u g : R → R est l’application g : x 7→ x

.

Exercice 3. L’application de R

dans R

d´ efinie par f ((x, y, z)) = (xz, yz) est-elle lin´ eaire ?

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E). On d´ efinit l’application φ

de L(E) dans lui-mˆ eme par φ

(g) = f ◦ g. Montrer que φ

est lin´ eaire.

Exercice 5. On consid` ere l’application f de C dans C d´ efinie pour z ∈ C par f(z) = ¯ z.

1. f est-elle C-lin´ eaire ? 2. f est-elle R -lin´ eaire ?

Exercice 6. Soit E un espace vectoriel et F

, F

deux sous-ev suppl´ ementaires de E. Ainsi, tout ´ el´ ement x de E s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme x = x

+ x

avec x

∈ F

et x

∈ F

. On d´ efinit alors f (x) = x

− x

.

1. Dans cette question, on consid` ere le cas particulier E = R

, F

= Vect((1, 0)) et F

= Vect((0, 1)). Faire un dessin repr´ esentant un vecteur x et son image f(x). Quelle transfor- mation g´ eom´ etrique f est-elle ?

2. On revient au cas g´ en´ eral. Montrer que f est lin´ eaire.

1

3. Montrer que f ◦ f = Id

. Que signifie g´ eom´ etriquement cette relation ? 4. Montrer que f est un isomorphisme.

Exercice 7. On consid` ere l’application lin´ eaire f de R

dans R

d´ efinie par f ((x, y, z)) = (x − y, y − z).

1. D´ eterminer Ker(f ).

2. f est-elle injective ? Surjective ?

Exercice 8. Soit F ( R , R ) l’espace vectoriel des fonctions de R dans R , et E le sous-espace de F( R , R ) engendr´ e par les fonctions e

: x 7→ 1, e

: x 7→ cos x et e

: x 7→ cos

x. On consid` ere l’application lin´ eaire de E dans F( R , R ) d´ efinie par :

f : E → F( R , R ) y 7→ y

+ 4y (y

d´ esignant la d´ eriv´ ee seconde de la fonction y).

1. Montrer que Im(f ) = Vect(e

, e

).

2. D´ eterminer Ker(f ).

Exercice 9. Soit P

l’espace vectoriel des fonctions polynˆ omes r´ eelles de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal

`

a 2, et f l’application lin´ eaire de P

dans R

, d´ efinie par : f : P

→ R

p 7→ (p(1), p

(0)).

1. D´ eterminer Ker(f ).

2. Montrer que f est surjective.

Exercice 10. Soit E un K -espace vectoriel et f une application lin´ eaire non nulle de E dans K . Montrer que f est surjective.

Exercice 11. Soit E un K -espace vectoriel, et f et g des endomorphismes de E v´ erifiant g ◦ f = f ◦ g. Montrer que Ker(f ) et Im(f) sont stables par g.

Exercice 12. Soit E un K -espace vectoriel, et f un endomorphisme de E v´ erifiant f ◦ f = f . 1. Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont suppl´ ementaires.

2. Soient F = Ker(f ) et G = Im(f ). Montrer que f est la projection sur G, parall` element ` a F .

(Un endomorphisme v´ erifiant f ◦ f = f est appel´ e un projecteur)

2

Exercice 13. Soit E un K -espace vectoriel, et f un endomorphisme de E.

1. Montrer que pour tout k ∈ N , Ker(f

) ⊂ Ker(f

) et Im(f

) ⊃ Im(f

).

2. Montrer que s’il existe un entier p tel que Ker(f

) = Ker(f

), alors pour tout k ∈ N

, Ker(f

) = Ker(f

).

(On d´ emontrerait de mˆ eme que s’il existe un entier q tel que Im(f

) = Im(f

), alors pour tout k ∈ N

, Im(f

) = Im(f

).)

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