Applications lin´ eaires

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Alg` ebre Lin´ eaire

Universit´ e de Paris 8 Feuille n ^◦ 2

Applications lin´ eaires

1 D´ efinition

Exercice 1 D´ eterminer si les applications f _i suivantes (de E _i dans F _i ) sont lin´ eaires : f ₁ : (x, y) ∈ R ² 7→ (2x + y, x − y) ∈ R ² , f ₂ : (x, y, z) ∈ R ³ 7→ (xy, x, y) ∈ R ³

f ₃ : (x, y, z) ∈ R ³ 7→ (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R ³ f ₄ : P ∈ R [X] 7→ P ⁰ ∈ R [X], f ₅ : P ∈ R 3 [X] 7→ P ⁰ ∈ R 3 [X]

f 6 : P ∈ R ³ [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R ³ , f 7 : P ∈ R [X] 7→ P − (X − 2)P ⁰ ∈ R [X].

Exercice 2 Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application lin´ eaire de E dans lui-mˆ eme telle que ϕ ⁿ = 0 et ϕ ⁿ⁻¹ 6= 0. Soit x ∈ E tel que ϕ ⁿ⁻¹ (x) 6= 0. Montrer que la famille {x, . . . , ϕ ⁿ⁻¹ (x)} est une base de E.

2 Image et noyau

Exercice 3 E ₁ et E ₂ ´ etant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vec- toriel E, on d´ efinit l’application f : E ₁ × E ₂ → E par f(x ₁ , x ₂ ) = x ₁ + x ₂ .

1. Montrer que f est lin´ eaire.

2. D´ eterminer le noyau et l’image de f . 3. Appliquer le th´ eor` eme du rang.

Exercice 4 Soient E un espace vectoriel et ϕ une application lin´ eaire de E dans E. On suppose que Ker (ϕ) ∩ Im (ϕ) = {0}. Montrer que, si x 6∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N : ϕ ⁿ (x) 6= 0.

Exercice 5 Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application lin´ eaire de E dans lui-mˆ eme. Montrer que les deux assertions qui suivent sont ´ equivalentes :

1. Ker(f ) = im(f ).

2. f ² = 0 et n = 2 rg(f ).

Exercice 6 Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = g ◦ f . Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont stables par g.

Exercice 7 Soit f ∈ L(E). Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = f (ker(f ◦ f)).

Exercice 8 Donner des exemples d’applications lin´ eaires de R ² dans R ² v´ erifiant : 1. Ker(f ) = Im(f).

2. Ker(f ) inclus strictement dans Im(f ).

3. Im(f) inclus strictement dans Ker(f ).

1

3 Injectivit´ e, surjectivit´ e, isomorphie

Exercice 9 Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e ₁ , e ₂ , e ₃ } une base de E, et λ un param` etre r´ eel.

D´ emontrer que la donn´ ee de







ϕ(e ₁ ) = e ₁ + e ₂ ϕ(e ₂ ) = e ₁ − e ₂ ϕ(e ₃ ) = e ₁ + λe ₃

d´ efinit une application lin´ eaire ϕ de E dans E. ´ Ecrire le transform´ e du vecteur x = α ₁ e ₁ + α ₂ e ₂ + α ₃ e ₃ . Comment choisir λ pour que ϕ soit injective ? surjective ?

Exercice 10

1. Dire si les applications f _i , 1 6 i 6 6, sont lin´ eaires

f ₁ : (x, y) ∈ R ² 7→ (2x + y, ax − y) ∈ R ² , f ₂ : (x, y, z) ∈ R ³ 7→ (xy, ax, y) ∈ R ³ , f 3 : P ∈ R [X] 7→ aP ⁰ + P ∈ R [X], f ₄ : P ∈ R 3 [X] 7→ P ⁰ ∈ R 2 [X], f ₅ : P ∈ R 3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R ³ , f ₆ : P ∈ R [X] 7→ P − (X − 2)P ⁰ ∈ R [X].

2. Pour les applications lin´ eaires trouv´ ees ci-dessus, d´ eterminer ker(f _i ) et Im (f _i ), en d´ eduire si f _i est injective, surjective, bijective.

Exercice 11 Soient E = C n [X] et A et B deux polynˆ omes ` a coefficients complexes de degr´ e (n + 1). On consid` ere l’application f qui ` a tout polynˆ ome P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B.

1. Montrer que f est un endomorphisme de E.

2. Montrer l’´ equivalence

f est bijective ⇐⇒ A et B sont premiers entre eux.

Exercice 12 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et ϕ une application lin´ eaire de E dans F . Montrer que ϕ est un isomorphisme si et seulement si l’image par ϕ de toute base de E est une base de F .

4 Morphismes particuliers

Exercice 13 Soit E l’espace vectoriel des applications de R dans R , P le sous-espace des fonctions paires et I le sous-espace des fonctions impaires. Monter que E = P L

I. Donner l’expression du projecteur sur P de direction I.

Exercice 14 Soit E = R n [X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e 6 n, et f : E → E d´ efinie par :

f (P ) = P + (1 − X)P

. Montrer que f ∈ L(E), donner une base de Im f et de Ker(f ).

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