PanaMaths
[1 - 2]Février 2012
Déterminer le reste de la division euclidienne de X
50par X
2− 3 X + 2 .
Analyse
On pose tranquillement la division euclidienne de X50 par X2−3X +2 et on s’interroge sur l’art et la manière de s’affranchir de la « contrainte » du quotient …
Résolution
La division euclidienne de X50 par X2−3X +2 s’écrit ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
50 2
3 2 1 2
X =Q X × X − X + +R X =Q X × X − X − +aX +b Où a et b sont deux réels à déterminer puisque nous nous intéressons au reste R de cette division.
En choisissant X =1, on obtient alors : 150= =1 Q
( ) (
1 × −1 1 1 2)(
− + × + = +)
a 1 b a b.En choisissant ensuite X =2, on obtient alors : 250 =Q
( ) (
2 × −2 1 2 2)(
− + × + =)
a 2 b 2a b+ .On a ainsi obtenu le système :
50
1
2 2
a b a b
⎧ + =
⎨ + =
⎩
En soustrayant la première égalité à la seconde, il vient :
( )
50 502a b+ − a b+ =2 − ⇔ =1 a 2 −1
Il vient ensuite : b= − = = −1 a a 1
(
250− = −1)
2 250=2 1 2(
− 49)
.On a finalement :
( ) (250 1)
2 1 2(
49)
R X =aX+ =b − X + −
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[2 - 2]Février 2012
Résultat final
Le reste de la division euclidienne de X50 par X2−3X +2 est le polynôme R défini par :
( ) (250 1)
2 1 2(
49)
R X = − X + −
