D´eterminer le reste dans la division euclidienne par 5 de 301150×27

TS9 DS 2 13 novembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Cours (15 minutes) (4 points)

Soit nun entier naturel (n>2)

On admet dans cet exercice que pour tous les entiers relatifsa etb: a≡b[n]⇔a−b≡0[n].

Soient a,b,c etddes entiers relatifs v´erifiant :

a≡b[n] et c≡d[n]

1. Montrer queac≡bd[n]

2. D´eterminer le reste dans la division euclidienne par 5 de 301¹⁵⁰×27.

Solution:

1. Cours

2. 301≡1[5] donc 301¹⁵⁰≡1[5] donc 301¹⁵⁰×27≡2[5].

Exercice 2 : Vrai/Faux (20 minutes) (7¹/₂ points)

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une d´emonstration de la r´eponse choisie. Une r´eponse non d´emontr´ee ne rapporte aucun point.

1. Proposition 1 :pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2²ⁿ−1.

2. Proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l’´equation x² +x ≡ 0 (modulo 6) alors x≡0 (modulo 3).

3. Deux entiers naturelsM etN sont tels que M a pour ´ecriture abc en base dix etN a pour ´ecriture bcaen base dix.

Proposition 3 : (Prise d’initiative) Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M −N est aussi divisible par 27.

Solution:

1. Vrai2² ≡1[3] donc pour tout entier naturel n, 2²ⁿ≡1[3] donc 2²ⁿ−1≡0[3].

2. FauxSix vaut 2 alors x²+x= 6.

3. Vraie On aM =a×100 +b×10 +cetN =b×100 +c×10 +a.

DoncM−N =a×99−b×90−c×9. De plusM est divisible par 27 donca×100+b×10+c≡0[27]

doncc=−a×100−b×10[27].

DoncM−N ≡a×99−b×90 +a×900 +b×90[27].

C’est-`a-direM−N ≡a×999[27].

Or 27×37 = 999 doncM−N ≡0[27]

TS9 DS 2 Page 2 sur 3 Exercice 3 : Probl`eme type bac (30 minutes) (8¹/₂ points)

Les parties A et B sont ind´ependantes.

Une personne a mis au point le proc´ed´e de cryptage suivant :

— `A chaque lettre de l’alphabet, on associe un entiern comme indiqu´e ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

— On choisit deux entiersaet bcompris entre 0 et 25.

— Tout nombre entier n compris entre 0 et 25 est cod´e par le reste de la division euclidienne de an+b par 26.

Le tableau suivant donne les fr´equencesf en pourcentage des lettres utilis´ees dans un texte ´ecrit en fran¸cais.

Lettre A B C D E F G H I J K L M

Fr´equence 9,42 1,02 2,64 3,38 15,87 0,94 1,04 0,77 8 ?41 0,89 0,00 5,33 3,23

Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z

Fr´equence 7,14 5,13 2,86 1,06 6,46 7,90 7,26 6,24 2,15 0,00 0,30 0,24 0,32

Partie A

Un texte ´ecrit en fran¸cais et suffisamment long a ´et´e cod´e selon ce proc´ed´e. L’analyse fr´equentielle du texte cod´e a montr´e qu’il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E.

On souhaite d´eterminer les nombres a et b qui ont permis le codage.

1. Quelles lettres ont ´et´e cod´ees par les lettres O et E ? 2. Montrer que les entiersaetb sont solutions du syst`eme

(4a+b≡14 [26]

b≡4 [26].

3. (a) Remplir le tableau suivant :

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4a [26]

a 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

4a [26]

(b) En d´eduire tous les couples d’entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte.

Solution:

1. D’apr`es le tableau, E est cod´e parO etA est cod´e par E.

2. • La lettre E(4) est cod´ee parO(14) donc 4a+b≡14[26].

• La lettre A(0) est cod´e par E(4) donca×0 +b= 4[26].

On a donc le syst`eme

(4a+b≡14[26]

b≡4[26] .

3. (a)

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4a [26] 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22

a 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

4a [26] 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22

(b) D´eterminer tous les couples d’entiers (a , b) ayant pu permettre le codage de ce texte. Ce syst`eme donne

(4a≡10 [26]

b≡4 [26] .

TS9 DS 2 Page 3 sur 3 On cherche toutes les valeurs de atelle que 4a≡10 [26] :

Les deux couples possibles sont (9 ; 4) et (22 ; 4).

Partie B

1. On choisita= 22 etb= 4.

(a) Coder les lettres K et X.

(b) Ce codage est-il envisageable ? 2. On choisita= 9 etb= 4.

(a) Montrer que pour tous entiers naturels netm, on a :

m≡9n+ 4 [26] ⇐⇒ n≡3m+ 14 [26]

(b) D´ecoder le mot AQ.

Solution:

1. (a) Pour K, on an= 10. Alors an+b= 22×10 + 4 = 224≡16 [26] donc K est cod´e par Q.

Pour X, on an= 23. Alorsan+b= 22×23 + 4 = 510≡16 [26] donc X est aussi cod´e par Q.

(b) Ce codage n’estpas envisageable, car deux lettres diff´erentes sont cod´ees par la mˆeme lettre.

2. • m ≡ 9n+ 4 [26] ⇒ 3m ≡ 27n+ 12 [26] ⇒ 3m ≡ n+ 12 [26] ⇒ 3m ≡ n−14 [26] ⇒ 3m+ 14≡n [26].

• R´eciproquement :

n= 3m+ 24 [26]⇒9n≡27m+ 126 [26]⇒9n≡m+ 22 [26]⇒9n+ 4≡m+ 26 [26]⇒ 9n+ 4≡m [26]

On en d´eduit que :

m≡9n+ 4 [26] ⇐⇒ n≡3m+ 14 [26]

D’apr`es la question (B.2a), si la lettre associ´ee `a l’entiernest cod´ee en la lettre associ´ee `am, alors :

m≡9n+ 4[26] ⇐⇒ n≡3m+ 14[26]

(a)• A est associ´e au nombrem₁ = 0 donc :n₁ ≡3m₁+ 14 [26] ⇐⇒ n₁≡3×0 + 14 [26] ⇐⇒

n1≡14[26].

Donc O a ´et´e cod´e en A.

• Q est associ´e au nombrem2 = 16 donc :n2 ≡3m2+14 [26] ⇐⇒ n2≡3×16+14[26] ⇐⇒

n₂≡10 [26].

Donc K a ´et´e cod´e en Q.

• Le d´ecodage du mot AQ est le motOK.