TS9 DS 1 8 octobre 2019 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom,pr´enom :
Exercice 1 : Division d’entiers relatifs (10 minutes) (3 points) D´eterminer tous les entiers relatifsn tel quen−7 divise n+ 3.
Exercice 2 : Division euclidienne (5 minutes) (2 points)
Trouver tous les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne par 4, donnent un quotient ´egal `a au reste.
Exercice 3 : ´Equation (10 minutes) (4 points)
Soit l’´equation (E) : xy+ 2x−3y= 27.
1. D´evelopper (x−3)(y+ 2)
2. D´eterminer les couples d’enters naturels (x;y) qui v´erifient (E).
Exercice 4 : Divisibilit´e (15 minutes) (5 points)
1. Soitk un entier naturel. On posea= 2k+ 3 etb= 5k+ 7.
(a) D´emontrer que, siddiviseaetbalors ddivise 1 ; (b) Que peut-on en d´eduire sur aetb?
2. La fraction 5n+ 7
2n+ 3,n∈N, peut-elle ˆetre ´egale `a un entier ?
Exercice 5 : R´ecurrence et divisibilit´e par 7 (15 minutes) (6 points) 1. (a) Soitn∈N, d´emontrer par r´ecurrence que 8 divise 32n−1.
(b) En d´eduire que 32n+1−3 est un multiple de 8.
On admet dans la suite que pour tout entier naturel n, 8 divise 54n+1−5
2. D´emontrer que pout tout entier naturel n, 32n+1+ 54n+1 est divisible par 8.