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Exercice 2 : Division euclidienne (5 minutes) (2 points) Trouver tous les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne par 4, donnent un quotient ´egal `a au reste

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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TS9 DS 1 8 octobre 2019 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Nom,pr´enom :

Exercice 1 : Division d’entiers relatifs (10 minutes) (3 points) D´eterminer tous les entiers relatifsn tel quen−7 divise n+ 3.

Exercice 2 : Division euclidienne (5 minutes) (2 points)

Trouver tous les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne par 4, donnent un quotient ´egal `a au reste.

Exercice 3 : ´Equation (10 minutes) (4 points)

Soit l’´equation (E) : xy+ 2x−3y= 27.

1. D´evelopper (x−3)(y+ 2)

2. D´eterminer les couples d’enters naturels (x;y) qui v´erifient (E).

Exercice 4 : Divisibilit´e (15 minutes) (5 points)

1. Soitk un entier naturel. On posea= 2k+ 3 etb= 5k+ 7.

(a) D´emontrer que, siddiviseaetbalors ddivise 1 ; (b) Que peut-on en d´eduire sur aetb?

2. La fraction 5n+ 7

2n+ 3,n∈N, peut-elle ˆetre ´egale `a un entier ?

Exercice 5 : R´ecurrence et divisibilit´e par 7 (15 minutes) (6 points) 1. (a) Soitn∈N, d´emontrer par r´ecurrence que 8 divise 32n−1.

(b) En d´eduire que 32n+1−3 est un multiple de 8.

On admet dans la suite que pour tout entier naturel n, 8 divise 54n+1−5

2. D´emontrer que pout tout entier naturel n, 32n+1+ 54n+1 est divisible par 8.

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