Terminales S - Spécialité / Divisibilité et congruence
1. Introduction :
Exercice 5701
Une frise est constituée de carrés, triangles, cercles et trapèzes se succédant régulièrement. Ces élèments sont successivement peints en blanc, avec des rayures ou en noir.
Le début de la frise est représenté ci-dessous :
D´ebut de la frise
1. Donner les caractéristiques du 113ième élément de cette frise.
2. Quel est l’élément suivant le 113ièmeélément et ayant les mêmes caractéristiques.
Exercice 5702
Un système de codage permet de transformer toute lettre d’un texte en un autre rendant ainsi le texte illisible.
Pour cela, il numérote les lettres de l’alphabet en commen- çant par 0. Une transformation sur le nombre permet alors de changer la lettre.
Voici le tableau de correspondance de ce codage :
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V WX Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C F I L O R U X A D G
Quelle a-été la transformation utilisée sur les nombres ?
2. Division euclidienne :
Exercice 3328
1. A l’aide de l’algorithme d’Euclide, compléter le tableau ci-dessous afin de déterminer le PGCD des nombrse240 et36:
Dividende Diviseur Reste
240 36 . . .
. . . .
. . . .
= × +
240 . . . 36 . . .
= × +
. . . .
= × +
. . . .
2. Rendre la fraction 240
36 irréductible en effectuant une unique simplification. Par quel nombre avez-vous sim- plifier ? Justifier votre démarche.
Exercice 3329
1. Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 496 et de 806.
2. Ecrire 496
806 sous la forme d’une fraction irréductible.
3. Calculer 496 806− 3
26
(on donnera le résultat sous la forme d’une fraction ir- réductible)
Exercice 3330
1. Déterminer la division euclidienne de 1 038par 17.
2. En étudiant le carré(61×17 + 1)2, déterminer le reste de la division euclidienne de1 0382 par 17.
3. En déduire une conjecture sur le reste, pour tout entier natureln, la division euclidienne de 1 038n par 17.
Exercice 3339
α et β représentent deux entiers ; on considère les quatre phrases suivantes :
1. αest un multiple deβ; 2. αa pour multipleβ; 3. αest un diviseurβ; 4. αa pour diviseurβ.
Les phrases ci-dessus sont équivalentes deux à deux ; retrou- ver les phrases équivalents.
Exercice 4696
L’année2012était une année bisxextile et le1erJanvier2012 était un dimanche.
1. a. Combien de jour sépare le1er Janvier2012et le 20 Janvier2012.
b. Donner la division euclidienne de19par7.
c. Quel jour de la semaine était-on le20Janvier2012.
2. Déterminer le jour de la semaine du25Mars2012.
Exercice 4995
1. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide le P GCD des nombres410et 246:
Dividende Diviseur Reste
410 246 . . .
. . . .
. . . .
= × +
410 . . . 246 . . .
= × +
. . . .
= × +
. . . .
2. a. Simplifier la fraction 246 410. b. Effectuer les calculs suivants :
246 410−8
5 ; 1
243 − 1 410
3. Divisibilité :
Exercice 3332
1. Compléter intuitivement les deux tableaux à double en- trée suivants :
+ Pair Impair
Pair Impair
× Pair Impair
Pair Impair
2. En remarquant les deux caractérisations suivantes : Sin∈Zest pair, il existek∈Ztel que :
n= 2·k
Sin∈Zest impair, il existek∈Ztel que : n= 2·k+ 1
Répondre aux questions suivantes :
a. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est pair.
b. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est impair.
Exercice 3334
1. a. Pour k un entier naturel non-nul développer l’ex- pressionA=(
2·k+ 1)2
−1.
b. Justifier queAest un multiple de 8.
2. On considère l’expressionB=n2−1pour n∈N∗: a. Démontrer que pournpair,B est impair.
b. Démontrer que pour n un entier impair strictement supérieur à 1,B est pair et divisible par 8.
Exercice 3335
1. a. Déterminer la valeur de a et b deux entiers relatifs tels que, pour tout entier relatifn, on a :
4n+ 1
n+ 1 =a+ b n+ 1
b. En déduire les valeurs de n pour laquelle 4n+ 1 n+ 1 est un entier.
2. Déterminer, si elles existent, les valeurs den∈Ztels que
Exercice 3490
1. Pour tout entier relatif ndifférent de 1, on considère le nombre :
An= 2n2−n−11 n−1
a. Déterminer la valeur des entiers relatifsa,b,cvérifiant la relation suivante pour tout entier naturelndistinct de 1 :
An=a·n+b+ c n−1
b. En déduire les valeurs dentelles que le nombreAn est un nombre entier.
2. On considère pour tout entier relatif, le nombreBndéfini par :
Bn =2n2−3n−15 2n+ 3
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles Bn est un entier relatif.
Exercice 4999
1. On considère le nombreAdéfini par : A=m×(
4·n+ 1)
oùm, n∈N.
On cherche à déterminer les valeurs dem etn réalisant l’égalitéA= 45.
a. En étudiant la relation 45 =m×(4·n+ 1), donner un ensemble de valeurs possibles dem.
b. En déduire l’ensemble des couples (m;n) réalisant A= 45.
2. On considère le nombreB définie par : B=(
2·m+ 3)
·( 2·n)
oùm, n∈N
Déterminer l’ensemble des couples(m;n)d’entiers véri- fiant la relationB= 70.
Exercice 5035
Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est un nombre impair
Exercice 5036
1. a. Déterminer le reste de la division euclidienne de102 par3.
division euclidienne par3vaut1. 2. Justifier que le nombre 4×10n−1 est, pour tout entier natureln, divisible par 3.
4. Nombres premiers :
Exercice 3361
1. Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre- miers des nombres suivants :
a. 2 016 b. 2 100 c. 864
2. Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme simplifiée :
a. 2 016
2 100 b. 1
2 100+ 1 864 Exercice 3362
Simplifier l’écriture des nombres suivants sous forme de pro- duit de facteurs premiers :
a. 18×152×9×82 b. 92×15−2×44 c. 5×34×122 212×153 d. 52×32
55·(
34+ 34) e. 22×5−4 221+ 222
Exercice 3363
Préciser si les nombres suivants sont premiers ou non : a. 37 b. 127 c. 541 d. 2×3×5×7 + 1 Exercice 5038
1. Soitnun entier naturel. Exprimer le reste de la division euclidienne den2par8en fonction du reste de la division euclidienne denpar4.
2. Soit aetbdeux entiers. Etablir la propriété suivante :
“Si a2+b2 est un entier divisible par8 alorsaet b sont des entiers pairs”
Exercice 5039
Déterminer l’ensemble des couples( a;b)
d’entiers relatifs vé- rifiant l’égalité :
a2−b2= 11
5. Reste de la division euclidienne :
Exercice 3331
On donne la division euclidienne de 195695 par 3 : 195 695 = 65 231×3 + 2
1. Justifier que le reste de la division euclidienne de( 195 695×2)
par3 est1.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de( 195 695×3)
par3.
3. On note( rn le reste de la division euclidienne de 195 695×n)
par 3. Compléter de tête le tableau suivant :
n 1 2 3 4 5 6 7
rn
Exercice 3359
Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que le quo- tient de la division euclidienne den par5 soit égal au reste par la même division.
6. Premiers exercices de congruences :
Exercice 3402
Vérifier la véracité de chacune des égalités suivantes : a. 15≡27 (mod.3) b. 17≡11 (mod.4) c. 153≡237 (mod.12) d. −5≡8 (mod.13) e. −81≡224 (mod.6) f. 374≡1 (mod.4) Exercice 3365
1. Déterminer une valeur de l’entier a∈[ 10 ; 20]
pour la-
quelle l’égalité est vraie :
a. 25≡a (mod.4) b. 37≡a (mod.10) c. 52≡a (mod.7) d. 5≡a (mod.14) e. 1≡a (mod.9) f. 13≡a (mod.5) 2. Déterminer une valeur de n pour laquelle l’égalité est
vraie :
a. 21≡1 (mod.n) b. 14≡4 (mod.n) c. 9≡14 (mod.n) d. 10≡25 (mod.n)
7. Manipulation algébrique :
Exercice 3468
On considère les nombres :
A= 8 387 592 115 ; B= 9 276 312 516 1. a. Montrer que1 000est divisible par8.
b. Montrer que Aest congru à3modulo8.
c. Donner l’entier naturelb strictement inférieur à8 tel queB soit congru àb modulo8.
2. Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à8 qui sont congrus respectivement àA+B et àA·B 3. a. Montrer queB2est divisible par8.
b. Montrer que A2 n’est pas divisible par8.
c. Montrer queA100 n’est pas divisible par8.
Exercice 3493 Soitnun entier naturel.
1. Développer(n+ 3)4. 2. Montrer que :
(n+ 3)4≡n4+ 2n2+ 1 (mod.4)
3. Etudier en fonction du reste de la division euclidienne de npar 4, la divisibilité de(n+ 3)4par 4.
Exercice 3278
Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels.
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne dex2 par7?
2. Démontrer que7divisex2+y2si, et seulement si,7divise xet 7 divisey.
Exercice 3598
Soit n un entier relatif. Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie :
n2+n+ 3≡0 (mod.5)si, et seulement si,n≡1 (mod.5).
Exercice 3632
1. Montrer que pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre22n−1.
2. Soitpun entier naturel. Montrer que parmi les entiersp, p+10,p+20, un et un seul d’entre eux est divisble par 3.
8. Puissances congrus à 0 :
Exercice 738
Soitpune entier naturel supérieur ou égal à2 etaun entier naturel non-nul
Montrer que si il existe un entier naturel n tel que an≡0 (mod.p) alors pour tout entier naturel k, on a l’im- plication : k⩾n=⇒ak≡0 (mod.p)
Exercice 5453
1. Déterminer le plus petit entierkréalisant l’équivalence : 6k ≡0 (mod.4)
2. Pour tout entier naturela, à l’aide d’un raisonnement par
récurrence, établir la congruence ci-dessous pour tout en- tier naturelnnon-nul :
(a+ 6)n≡an+ 6·n·an−1 (mod.4)
Exercice 5454
1. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturelnréa- lisant la congruence :
6n ≡0 (mod.8)
2. Pour tout entier natureln, déterminer la valeur du reste de l’entierAdéfini ci-dessous par la division euclidienne par8:
A= 6n+ 9n
9. Puissances, congruences et cyclicité :
Exercice 3403
1. a. Compléter le tableau ci-dessous oùrn représente le reste de la division euclidienne de7n par 4 :
n 0 1 2 3 4 5
rn
b. En déduire le reste de la division euclidienne de 7235 par 4.
2. a. Compléter le tableau ci-dessous oùrn représente le reste de la division euclidienne de12n par 5 :
n 0 1 2 3 4 5
rn
Exercice 5037
1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
n 0 1 2 3 4
Reste de3n par5
2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : 20084·n ≡1 (mod.5)
3. En déduire que20082008−31est divisible par5.
Exercice 3571
1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11.
par 11.
3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22 009+ 2 009par 11.
Exercice 3408
1. a. Déterminer les restes de la division euclidienne par 7des nombres3n pourn∈N, n⩽6.
On complétera le tableau suivant :
Puissance de 3 30 31 32 33 34 35 36 Reste modulo 7
b. En déduire que, pour tout k∈N, 36k est congru à 1
modulo7.
2. a. Déterminer le plus petit entier naturel congru à1515 modulo7.
b. Après avoir remarqué que 2004 = 6×334, déduire de la question 1. le reste de la division euclidienne de 15152004par7.
c. Montrer que dans la division euclidienne de 15152006 par7, le reste est2.
Exercice 4309
On considère l’entier N=112011. Montrer que l’entier N est congru à 4modulo7.
10. Equations :
Exercice 3599
On considère l’ensembleA7={
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
1. Pour tout élément a de A7, écrire dans le tableau ci- dessous l’unique élémentydeA7tel queay≡1 (mod.7).
a 1 2 3 4 5 6
y 6
2. Pourxentier relatif, démontrer que l’équation : 3x≡5 (mod.7) équivaut à x≡4 (mod.7).
3. Soit a un élèment de A7, montrer que les seuls entiers
relatifs x solutions de l’équation a·x≡0 (mod.7) sont les multiples de7.
Exercice 5455 Soitxun entier relatif.
1. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne d’un entier x par 7, résoudre dans Z les équations sui- vantes :
a. 4·x≡1 (mod.7) b. 6·x≡3 (mod.7) 2. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne
dexpar6, résoudre dansZles équations suivantes : a. 5·x≡2 (mod.6) b. 2·x≡3 (mod.6)
11. Raisonnement par récurrence :
Exercice 3294 On considère la suite(
un)
d’entiers naturels définie par : u0= 14 ; un+1= 5un−6 pour toutn∈N
Montrer que, pour tout entier natureln,un+2≡un (mod.4).
Exercice 3457
Montrer par un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, l’entier5n−1 est un multiple de 4.
Exercice 3494
Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturelnnon-nul, on a :
xn−1 =( x−1)(
1 +x+x2+· · ·+xn−1)
255. Exercices non-classés :
Exercice 5820
On considère l’algorithme suivant :
A etX sont des nombres entiers.
Saisir un entier positifA.
Affecter àX la valeur deA.
Tant queX supérieur ou égal à 26 Affecter àX la valeurX−26.
Fin du tant que.
AfficherX.
1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre3? 2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre55?
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Exercice 5826
Utiliser les congruences pour calculer les restes de la division euclidienne par7des nombres suivants :
a. 56 b. 56p, pourp∈N∗ c. 3338 Exercice 5830
1. Etudier, suivant les valeurs de l’entier natureln, le reste de la division par7 du nombre :
A=n2−n+ 1
2. En déduire les entiers ntels que le nombreA soit divi- sible par7.
3. Déterminer le reste de la division par7 du nombre : B= 2 7532−2 753 + 1
Exercice 5840
On considère l’algorithme suivant :
Variables :aest un entier naturel best un entier naturel c est un entier naturel Initialisation : Affecter àcla valeur 0
Demander la valeur dea Demander la valeur deb Traitement Tant quea > b
Affecter àcla valeurc+ 1 Affecter àala valeur dea−b Fin de Tant que
Sortie : Afficherc Affichera
1. Faire fonctionner cet algorithme aveca= 13etb= 4en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
2. Que permet de calculer cet algorithme ? Exercice 5979
nest un entier naturel.
Dans la division euclidienne denpar7,npeut s’écrire : n= 7q+r oùqetr sont des entiers naturels.
1. Que représenter? Quelles sont les valeurs possibles pour r?
2. On divisen2 par7. Quels sont les valeurs possibles pour r?
3. En déduire que si7 divisen2 alors7 divisen.
4. netmsont deux entiers naturels. On divisen2+m2par 7. Quels sont les restes possibles ?
5. En déduire que si7 divisen2+m2 alors7divisenet m.
