Division euclidienne
Soient
a
etb
deux nombres entiers positifs, avecb
non nul.Effectuer la division euclidienne de
a
parb
, c’est trouver le couple unique d’entiers positifsq
etr
vérifiant :a
=b
q
r
avecr b
.Exemple :
Prenons
a
= 187 etb
= 13.On pose la division euclidienne pour obtenir
q
etr
. Donc 187 = 13 14 5 avec 5
13Multiples et diviseurs
Soient
a
etb
deux nombres entiers positifs, avecb
non nul.Si
r
= 0, alors l'égalité précédente devienta
=b
q
.On dit alors que
a
est un multiple deb
et queb
est un diviseur dea
, ou encore queb
divisea
.Exemple :
Prenons
a
= 135 etb
= 15. On a : 135 = 15 9 0 = 15 9 Donc 135 est un multiple de 15, et 15 est un diviseur de 135.Remarques :
• Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
• Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Critères de divisibilité
• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Dans ce cas, on dit qu’il est pair.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres (dizaines et unités) est divisible par 4.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple :
• 915 n'est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par 0, 2, 4, 6 ou 8. C'est un nombre impair.
• 915 n'est pas divisible par 4 car le nombre formé par ses deux derniers chiffres, 15, n'est pas divisible par 4. D'ailleurs, comme il n'est pas divisible par 2, il ne peut pas être divisible par 4.
• 915 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
• 915 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres : 9 1 5 = 15 est un multiple de 3.
Mais il n'est pas divisible par 9 car 15 n'est pas un multiple de 9.
Arithmétique • N1
Division euclidienne
1
A
Propriété
B
32Définitions
C
40Propriétés
187 13
14 5
18
21
Définition
Un nombre entier supérieur à 1 est un nombre premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
• Voici tous les nombres premiers inférieurs à 40 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.
• 91 n'est pas divisible par 2, 3, 5 ou 9 d'après les critères, mais ce n'est pas pour autant qu'il est premier. Pour le savoir, il faut essayer de le diviser par les nombres premiers de la liste précédente. 91 est divisible par 7 car 91 = 13 7. Donc 91 n'est pas un nombre premier.
Décomposition en facteurs premiers
Tout nombre entier
n
supérieur à 1 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.Quand on écrit la décomposition sous la forme
n
=p
1α1×...×p
kαk,cette écriture est unique, à l’ordre près des facteurs, et est appelée décomposition en facteurs premiers de l’entier
n
.Exemple :
504 = 8 63 = 8 9 7 = 23 32 7
Pour décomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers, on décompose progressivement cet entier à l'aide de nombres premiers.
Exemple :
On veut décomposer l’entier 3 626 en produits de facteurs premiers.
2 est un diviseur de 3 626 donc 3 626 = 2 1 813. On essaie maintenant de décomposer 1 813.
7 est un diviseur de 1 813 donc 3 626 = 2 7 259. On essaie maintenant de décomposer 259.
7 est un diviseur de 259 donc 3 625 = 2 7 7 37. On essaie maintenant de décomposer 37.
37 est un nombre premier, donc la décomposition de 3 625 est 3 625 = 2 72 37.
Fraction irréductible
Une fraction est dite irréductible quand il n’est plus possible de la simplifier.
Exemples : 14
21 n’est pas une fraction irréductible car14 21 = 2
3. Par contre, 7
15 est irréductible.
Remarque :
Pour écrire une fraction sous sa forme irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers, et on simplifie. Quand on ne peut plus simplifier la fraction, elle est irréductible.
Exemple : 168
3 626 = 23×3×7
2×72×37 =2×2×2×3×7
2×7×7×37 =2×2×3 7×37 = 12
259, où 12
259est une fraction irréductible.
N1 • Arithmétique
43
49
