Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2010-2011
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Division Euclidienne – Nombres premiers Exercice 1
Déterminer tous les entiers tels que 3n n+4 divise n+6.
Correction
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) { }
{ } { }
14
3 4 | 6 et 3 4 | 3 4 3 4 divise toute combinaison linéaire de 3 4 et 6
soit 3 4 |3 6 3 4 3 4 |14.
3 4 est un diviseur de 14, 14, 7, 2, 1,1, 2, 7,14 3 4 14, 7, 2, 1,1, 2, 7,14 6, 2, 1,1
n n n n n n n
n n n n
n D
n n
+ + + + ⇒ + + +
+ + − + ⇔ +
+ = − − − −
+ ∈ − − − − ⇔ ∈ − − − Exercice 2
2 2
1)La ifférence de deux entiers est 538. Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est 13 et le reste 22.
Quels sont ces deux entiers?
2)Trouver tous les couples d'entiers naturels tels que: x −y =35.
3)On divise 1517 par un entier naturel et on obtient comme quotient 75.
Quels peuvent être le diviseur et le reste?
Correction
2 2
538 538 581
1) 13 22 538 13 22 43
2) 35 ( )( ) 35, et 35 1 35 5 7
35 18 7 6
Comme , on a alors deux cas: ,
1 17 5 1
3) 1517 75
a b a b a
a b b b b
x y x y x y
x y x x y x
x y x y ou
x y y x y y
q r av
− = = + =
⇔ ⇔
= + + = + =
− = ⇔ − + = = × = ×
+ = = + = =
+ > − ⇔ ⇔
− = = − = =
= + 0 et on a: 1500 75 20
si 19 75 1425 et
si 21 75 1575 1517 d'où 0.
Donc la seule possibilité est: 20 17.
ec r q
q q r q
q q r
q et r
≤ < = ×
≤ ⇒ ≤ >
≥ ⇒ = > <
= =
Exercice 3
Les deux questions sont indépendantes:
1) Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par 140 et par 252, donne 40 comme reste?
2) a,b, et n sont trois entiers naturels non nls. Montrer que les diviseurs de "a et b"
sont les diviseurs de "a bn+ et de a b n+ ( −1)".
Correction
1) On a 140 40 252 ' 40, donc: 140 40 252 ' 40 140 252 ' 5 9 '
Le plus petit entier est obtenu pour 9 ( ' 5) d'où 1300.
2) Rappel: si divise et , alors divise . Soit un divis
n q et n q q q q q q q
n q ou q n
a b c a b c
d
α β
= + = + + = + ⇔ = ⇔ =
= = =
+
( ) ( ) ( )
eur de et de , on a alors divise et divise ( 1).
Réciproque: Soit un diviseur de et de ( 1) , alors divise ( 1) Donc divise ainsi que , d'où divise é
a b d a bn d a b n
d a bn a b n d a bn a b n b
d b bn d
+ + −
+ + − + − + − =
( )
galement .
Finalement divise et .
a bn bn a
d a b
+ − =
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Exercice 4
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2. Le nombre n n2+n est-il premier?
Correction
2 2
si produit de deux entiers strictement supérieur à 1, n'est pas un nombre premier.
Pour tout entier naturel 2, on a ( 1), 2 1 3 donc avec 1 et 1, n'est jamais premier.
n p q n
n n n n n n n
n p q p q n n
= ×
≥ + = + ≥ ⇒ + ≥
= × > > +
Exercice 5
Montrer que Pour tout entier naturel n≥2, le nombre ! 4 n'est pas premier.n+ Correction
[ ]
Pour tout entier naturel 2, ! 4
( 1) ( 2) 5 4 3 2 1 4 4 ( 1) ( 2) 5 3 2 1 1 4
1 et 4 1 n'est pas premier.
n N n
N n n n n n n p
p N
≥ = +
= × − × − × × × × × × + = × − × − × × × × × + = ×
> > ⇒
⋯ ⋯
Exercice 6
1) Montrer que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6 1 ou 6 5, où est un naturel.
2) En raisonnant par disjonction des cas, en déduire que si est premier est au moins à 5, alors
n n n
p
+ +
2 1 est divisible par 24.
p −
Correction
Soit un nombre premier différent de 2 et différent de 3.
1) Tout entier naturel s'écrit sous la forme: 6 0 6 . si 0 6 n'est pas premier
si 2 6 2 2(3 1) n'est pas premier
si 3 6
N
N N k r avec r
r N k
r N k k
r N k
= + ≤ <
= ⇒ =
= ⇒ = + = +
= ⇒ = 3 3(2 1) n'est pas premier si 4 6 4 2(3 2) n'est pas premier
Donc si 1 ou 5 on a 6 1 6 5 est un nombre premier.
Donc tout nombre premier peut s'écrire sous la forme 6 1 6 5 k
r N k k
r r N k ou N k
N k ou N k avec k
+ = +
= ⇒ = + = +
= = = + = +
= + = + ∈ℕ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
. 2) Soit un nombre premier, s'écrit donc sous la forme: 6 1 6 5
si 6 1 alors 1 6 1 1 6 6 2 12 3 1
si 2 ( est pair), on a 1 24 6 1 . donc 24 1 . si 2 1( est impair), o
p p p k ou p k
p k p k k k k k
k n k p n n divise p
k n k
= + = +
= + − = + − = + = +
= − = + −
= +
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2
n a 1 24(2 1) 3 2 .donc 24 1 .
si 6 5, on a 1 6 5 1 6 4 6 6 12 3 2 1
si 2 ( est pair), on a 1 24 3 1 1 . donc 24 1 . si 2 1( est impair), on a 1 12 3(2 1) 2 2 2 24 6
p n n divise p
p k p k k k k k
k n k p n n divise p
k n k p n n n
− = + + −
= + − = + − = + + = + +
= − = + + −
= + − = + + + =
( )( )
( )
( )
2 2
5 1 .
donc 24 1 .
Donc dans tous les cas 1 est divisible par 24 pour 5 un nombre premier . n divise p
p p p
+ +
−
− ≥
