Arithmétique : Nombres Premiers – Division Euclidienne
I) DIVISION EUCLIDIENNE
● DÉFINITION : La DIVISIONEUCLIDIENNE d’un entier a par un entier b ( b ≠0 ) est l’opération qui permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que :
a=b q+r
avec
0≤ r<b● Vocabulaire :
a est appelé le dividende ; b est le diviseur ; q est le quotient et r est le reste.
EXEMPLE :
La touche sur les calculatrices CASIO et sur les calculatrices Texas Instruments (TI), permettent d’obtenir le quotient entier et le reste entier dans une division euclidienne.
⟹ Pour obtenir le quotient et le reste entier dans la division euclidienne de 647 par 18 , on tape
pour les CASIO pour les TI
• 647-18B •
Le quotient vaut 35 et le reste vaut 17 . On en déduit que : 647=18×35+17.
⟹ Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 1 253 et de 72.
Q=et R=¿
EXERCICE :
Un fermier ramasse 257 œufs qu’il veut répartir dans des boîtes pouvant en contenir 12. Combien de boîtes pourra-t-il réaliser ? Combien d’œufs lui restera-t-il ?
On peut répondre à ce problème en utilisant la calculatrice ou un tableur.
On saisit en C2 la formule permettant d’obtenir le quotient de la division
euclidienne de 257 par 12
On saisit en D2 la formule permettant d’obtenir le reste de la division
euclidienne de 257 par 12
II) MULTIPLESET DIVISEURS
1) Vocabulaire
• DÉFINITION : On considère deux nombres entiers positifs a et b , avec b non nul. Lorsque la division euclidienne de a par b donne 0 , on dit que b est un DIVISEUR de a . On dit aussi que b DIVISE a ou que a est un MULTIPLE de b .
• EXEMPLE
Pour montrer que 9 657 est un multiple de 37 on doit écrire la division euclidienne de 9 657 par 37 .
En utilisant la calculatrice, on obtient la division euclidienne de 9 657 par 37 :
¿×+¿
Comme le reste est , on peut affirmer que 9 657 est un multiple de 37 (ou bien 37 est un diviseur de 9 657 )
• PROPRIÉTÉS
Soient a et b deux nombres relatifs, avec b non nul.
→ Pour montrer que b est un diviseur de a , il suffit de montrer qu’il existe un nombre entier n non nul tel que a=b ×n .
→ S’il existe un nombre entier n non nul tel que a=b ×n alors b est un diviseur de a .
EXEMPLES
⇒ 6 est un diviseur de 72 car ×=¿
⇒ 72=× donc et sont aussi des diviseurs de 72
• CAS PARTICULIERS :
→ 1 est un diviseur de tous les nombres.
→ Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0 .
→ Tout nombre entier non nul est un diviseur de lui-même.
2) Critères de divisibilité
• DÉFINITION : un critère de divisibilité est une propriété qui permet d’éviter de poser la division euclidienne pour savoir si un nombre est divisible par un autre.
• DIFFÉRENTSCRITÈRES
→ Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
→ Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Il pourra donc faire boîtes de œufs, et il lui en restera .
→ Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
→ Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
→ On considère un nombre comportant deux chiffres ou plus. Ce nombre est divisible par 4 si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
EXEMPLES La somme des chiffres de 13 488 est 24 (1+3+4+8+8=24) . Or 24 est un multiple de 3 mais pas de 9. Par conséquent, il en est de même pour 13 488 . Son chiffre des unités étant un 8 , il sera aussi divisible par 2 . Il est donc divisible par 6 .
III) NOMBRES PREMIERS
Les nombres premiers ont un rôle fondamental en arithmétique. L’étude des propriétés des nombres entiers naturels impose souvent la décomposition en facteurs premiers. Les nombres premiers ont aussi un rôle prépondérant en cryptographie. Autant la multiplication de deux nombres entiers, même très grands, n’est pas compliquée (avec un ordinateur, le calcul est immédiat…), autant l’opération inverse, c’est-à-dire l’identification des facteurs dans un produit est difficile, même avec les calculateurs les plus rapides.
• DÉFINITION : Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• REMARQUES :
⇒ 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 et 19 sont les nombres premiers inférieurs à 20.
⇒ 0 n’est pas un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs.
⇒ 1 n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur.
• PROPRIÉTÉ
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.
EXEMPLES
→ La décomposition de 24 en produit de facteurs premiers est : ×××=× .
→ Par contre, 2×3×6 n’est pas une décomposition en produit de facteurs premiers de 36 car 6 n’est pas un nombre premier.
• REMARQUE
La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier et de rendre irréductible une fraction.
EXEMPLE
⇒ Les décompositions en facteurs premiers de 180 et 54 sont : 180=× ××× et 54=×××
−¿(forme irréductible). Donc−180
54 =−×× ××
× ×× =−×
=¿
⇒ Décomposer le nombre 120 en produit de facteurs premiers :
→ Il faut connaitre quelques nombres premiers pour réaliser la décomposition : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 …
EXERCICES DIVERS
1) Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : 354 par 16 et 6 384 par 84.
354=22×16+2et6 384=76×84+0
2) 851=19×43+34 . Sans effectuer de division, donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 851 par 43, puis ceux de la division euclidienne de 851 par 19.
Le quotient de la division euclidienne de 851 par 43 est 19 et le reste est 34.
Le quotient de la division euclidienne de 851 par 19 est 44 et le reste est 15.
3) Trouver toutes les possibilités pour le chiffre manquant #, sachant que 3 et 4 divisent le nombre 2 0#4.
• S’il est divisible par 3 alors la somme de ses chiffres est un multiple de 3 d’où : 2+0+¿+4=6+¿→¿peut être égalà0;3;6;9
• Puisque 4 divise ce nombre, le nombre composé de ses deux derniers chiffres doit être un multiple de 4.
¿4est≤nombre composé des deux derniers chiffres donc →¿peut être égal à0;2;4;6;8
• Donc les valeurs 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 répondent à la question.
4) Etablir la liste des diviseurs des entiers suivants : 60 ; 43 ; 36.
• 60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10
Donc tous les diviseurs de 60 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
• 43 est un nombre premier donc il n’a que deux diviseurs : 1 et 43.
• 36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6
Donc tous les diviseurs de 36 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
5) Les nombres suivants sont-ils premiers ? 23 ; 79 ; 91.
23 et 79 sont des nombres premiers alors que 91=7×13 donc il n’est pas premier.
6) Décomposer 276 et 161 en produit de facteurs premiers.
• 120 est divisible par (car 120 est pair). La division de 120 par donne un quotient de . On recommence alors avec , puis .
• 15 n’est pas divisible par mais par . On obtient alors qui est un nombre premier.
• n’étant divisible par aucun nombre premier, on a alors terminé.
La décomposition en facteurs premiers de 120 est donc : 120=× ×××=××
Donc 276=22×3×23 Donc 161=7×23
7) Rendre les fractions 48
60 et 276
161 irréductibles.
48
60= 24×3 22×3×5=22
5=4 5
276
161=22×3×23
7×23 =22×3 7 =12
7
