Division euclidienne
Exercice 1. Décomposition en puissances croissantes
Soit A ∈ K[X] de degré > 0. Montrer que pour tout polynôme P ∈ Kn[X], il existe des polynômes P0, P1, . . . , Pn uniques vérifiant :
degPi<degA
P=P0+P1A+. . .+PnAn.
Exercice 2. Linéarité du reste et du quotient
SoitB∈K[X] de degrén >0. On considère les applications :
Φ:
K[X] −→ Kn−1[X]
P 7−→ R et Ψ :
K[X] −→ K[X]
P 7−→ Q avecP =QB+R.
1) Montrer queΦet Ψ sont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2) Montrer queΦ(P1P2) =Φ(Φ(P1)Φ(P2)).
Exercice 3. EndomorphismeP 7→AP modB SoitE=K3[X],A=X4−1,B =X4−X etϕ:
E −→ E
P 7−→ reste de la div. euclid. deAP parB.
Chercher Kerϕ, Imϕ.
Exercice 4. Congruences
Soient P∈K[X],a, b∈Kdistincts, etα=P(a),β =P(b).
1) Quel est le reste de la division euclidienne deP par (X−a)(X−b) ? 2) Trouver le reste de la division euclidienne de (cosθ+Xsinθ)n parX2+ 1.
Exercice 5. Congruences
Déterminer les polynômes P ∈Q3[X] divisibles par X + 1 et dont les restes des divisions euclidiennes parX+ 2, X+ 3, X+ 4 sont égaux.
Exercice 6. Calcul de pgcd
Calculer le pgcd de P et Qpour :
1) P=X4+X3−3X2−4X−1,Q=X3+X2−X−1.
2) P=X4−10X2+ 1,Q=X4−4X3+ 6X2−4X+ 1.
3) P=X5−iX4+X3−X2+iX−1,Q=X4−iX3+ 3X2−2iX+ 2.
Exercice 7. Coefficients de Bézout
Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈ K[X] tels que U P +V Q= 1.
1) P=X4+X3−2X+ 1,Q=X2+X+ 1.
2) P=X3+X2+ 1,Q=X3+X+ 1.
Exercice 8. Division de(X+ 1)n−Xn−1parX2+X+ 1
Chercher le reste de la division euclidienne de (X+ 1)n−Xn−1 parX2+X+ 1.
Exercice 9. Ensi P 90
Pour quelsn∈Nle polynôme (1 +X4)n−Xn est-il divisible par 1 +X+X2 dansR[X] ?
euclide.tex – jeudi 5 août 2010
Exercice 10. Division de(X−2)2n+ (X−1)n−1 par(X−1)(X−2) SoitPn= (X−2)2n+ (X−1)n−1.
1) Montrer quePn est divisible parX−1 et parX−2. On noteQ1et Q2les quotients correspondant.
2) Montrer quePn est divisible par (X−1)(X−2) et que le quotient estQ2−Q1. 3) Montrer que ce quotient est égal à :
((X−2)2n−2−(X−2)2n−3+. . .−(X−2) + 1) + ((X−1)n−2+ (X−1)n−3+. . .+ (X−1) + 1).
Exercice 11. Calcul de restes
Trouver les restes des divisions euclidiennes : 1) deX50 parX2−3X+ 2.
2) de (X+√
3)17parX2+ 1.
3) deX8−32X2+ 48 par (X−√ 2)3. Exercice 12. Divisibilité
Trouverλ, µ∈Ctels queX2+X+ 1 divise X5+λX3+µX2+ 1.
Exercice 13. Congruences
SoitP ∈K[X] tel que les restes des divisions deP parX2+ 1 et X2−1 valent respectivement 2X−2 et −4X. Quel est le reste de la division de P parX4−1 ?
Exercice 14. pgcd(Xn−1, Xm−1)
Soient m, n∈N∗. Chercher pgcd(Xn−1, Xm−1).
Exercice 15. Degré minimal dans la formule de Bézout Soient P, Q∈K[X] non nuls etD= pgcd(P, Q).
1) Démontrer qu’il existeU, V ∈K[X] uniques tels que :
(U P +V Q=D
degU <degQ−degD degV <degP−degD.
2) Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournitU etV. Exercice 16. Application(U, V)7→U A+V B
Soient A, B∈K[X],p= degA,q= degB. On considère l’application :
Φ:
Kq−1[X]×Kp−1[X] −→ Kp+q−1[X]
(U, V) 7−→ U A+V B.
Démontrer que : A∧B= 1⇔Φest bijective.
Exercice 17. pgcd(P(X), P(−X))etppcm(P(X), P(−X))
SoitKun corps de caractéristique diffrénete de 2 etP ∈K[X]. Démontrer que pgcd(P(X), P(−X)) et ppcm(P(X), P(−X)) sont pairs ou impairs.
Exercice 18. A◦P |B◦P ⇒A|B
Soient A, B, P ∈K[X] avecP non constant. Montrer que siA◦P diviseB◦P, alorsAdiviseB.
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solutions
Exercice 3.
Imϕ={P ∈E tel queX−1|P}, Kerϕ= vect(X3+X2+X).
Exercice 4.
1) α(b−X) +β(X−a) b−a . 2) cosnθ+Xsinnθ.
Exercice 5.
P =λ((X+ 2)(X+ 3)(X+ 4)−6).
Exercice 6.
1) X+ 1 2) 1
3) X2−iX+ 1 Exercice 7.
1) 7U =X+ 3, 7V =−X3−3X2+X+ 4.
2) 3U = 2X2−X+ 1, 3V =−2X2−X+ 2.
Exercice 8.
Substituer j àX ⇒R=
(−1)n−2 sin≡0 (mod 3) ((−1)n+1−1)(X+ 1) sin≡1 (mod 3) ((−1)n+ 1)X sin≡2 (mod 3).
Exercice 9.
n≡0 (mod 6).
Exercice 10.
3) Développer le produit.
Exercice 11.
1) (250−1)X+ 2−250. 2) 216(X−√
3).
3) 192(X−√ 2)2. Exercice 12.
λ=µ=−1.
Exercice 13.
−3X3+X2−X−1.
Exercice 14.
n=qm+r⇒Xn−1≡Xr−1 (modXm−1). On applique la méthode des divisions euclidiennes entre net m⇒pgcd =Xn∧m−1.
Exercice 15.
2) Récurrence.
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