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Déterminer les deux entiers naturels p et q tels que : • La somme de p et de q vaut 170. • Dans la division euclidienne de p par q, le quotient vaut 12 et le reste 1.

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(1)

PanaMaths Octobre 2012

Déterminer les deux entiers naturels p et q tels que :

• La somme de p et de q vaut 170.

• Dans la division euclidienne de p par q, le quotient vaut 12 et le reste 1.

Analyse

On traduit les deux données et on résout le système ainsi obtenu …

Résolution

La somme de p et de q valant 170, on a : p+ =q 170.

Dans la division euclidienne de p par q, le quotient vaut 12 et le reste 1. On a donc : 12 1

p= q+

On doit donc résoudre le système :

170 12 1 p q

p q

⎧ + =

⎨ = +

⎩

On procède simplement par substitution :

170 12 1 170 13 169

12 1 12 1 12 1

13 13 13

12 1 12 13 1 157

p q q q q

p q p q p q

q q q

p q p p

+ = + + = =

⎧ ⇔⎧ ⇔⎧

⎨ = + ⎨ = + ⎨ = +

⎩ ⎩ ⎩

= = =

⎧ ⎧ ⎧

⇔⎨⎩ = + ⇔⎨⎩ = × + ⇔⎨⎩ =

Résultat final

Les deux entiers cherchés sont p=157 et q=13.

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