Exercice 1. 1. ϕ(Q, P ) = Q(1)P (0) − Q(0)P (1) = −ϕ(P, Q) donc ϕ est antisym´etrique. Pour P, Q, Q ˜ ∈ R
2[X ] et λ ∈ R quelconques,
ϕ(P, Q + λ Q) = ˜ P (1)(Q + λ Q)(0) ˜ − P (0)(Q + λ Q)(1) ˜
= P (1)Q(0) − P (0)Q(1) + λ(P (1) ˜ Q(0) − P (0) ˜ Q(1))
= ϕ(P, Q) + λϕ(P, Q) ˜
donc ϕ est lin´eaire par rapport au deuxi`eme argument. Par antisym´etrie, elle est aussi lin´eaire par rapport au premier argument. Donc ϕ est bilin´eaire antisym´etrique.
2.
M =
ϕ(1, 1) ϕ(1, X ) ϕ(1, X
2) ϕ(X, 1) ϕ(X, X) ϕ(X, X
2) ϕ(X
2, 1) ϕ(X
2, X) ϕ(X
2, X
2)
=
0 −1 −1
1 0 0
1 0 0
3. La famille B
′a 3 ´el´ements, qui est la dimension de R
2[X ], il suffit de montrer que B
′est libre. Soient λ
1, λ
2, λ
3trois r´eels tels que
λ
1X + λ
2(X − 1) + λ
3(X − 1)
2= 0
Le coefficient de X
2donne λ
3= 0, ensuite le coefficient constant donne λ
2= 0 et donc λ
1= λ
2= λ
3= 0.
4. La matrice de ϕ dans B
′est par d´efinition :
N =
ϕ(X, X) ϕ(X, X − 1) ϕ(X, (X − 1)
2) ϕ(X − 1, X ) ϕ(X − 1, X − 1) ϕ(X − 1, (X − 1)
2) ϕ((X − 1)
2, X ) ϕ((X − 1)
2, X − 1) ϕ((X − 1)
2, (X − 1)
2)
=
0 −1 1
1 0 0
−1 0 0
D’autre part la matrice de passage de B ` a B
′est :
P =
0 −1 1
1 1 −2
0 0 1
et on v´erifie la formule de changement de base pour une forme bilin´eaire : N =
tP M P
Exercice 2. 1. Comme f (t)g(t) = g(t)f (t) pour tout t ∈ [0, 2], φ est sym´etrique.
Soient f
1, f
2, g des fonctions continues de [0, 2] dans R, et λ un r´eel, on a : φ(f
1+ λf
2, g) = R
20
(f
1+ λf
2)(t)g(t)dt
= R
20
(f
1(t) + λf
2(t))g(t)dt
= R
20
f
1(t)g(t)dt + λ R
20
f
2(t)g(t)dt
= φ(f
1, g) + λφ(f
2, g)
donc φ est lin´eaire par rapport au premier argument, donc aussi par rapport au deuxi`eme argument par sym´etrie.
2. Par d´efinition B engendre W , il faut donc montrer que B est une famille libre pour avoir une base (attention, on ne connait pas encore la dimension de W ). Soient λ
0, λ
1, λ
2trois r´eels tels que λ
0f
0+ λ
1f
1+ λ
2f
2= 0 donc tels que pour tout t ∈ [0, 2] on ait :
λ
01 + λ
1(t − 1) + λ
2(t − 1)
2= 0
On pose t = 1, on en d´eduit que λ
0= 0. On divise par t − 1 et on fait `a nouveau t = 1, on en d´eduit que λ
1= 0 puis λ
2= 0.
1
3.
φ(f
1, f
0) = Z
20
(t − 1) dt =
(t − 1)
22
20
= 0
φ(f
1, f
2) = Z
20
(t − 1)(t − 1)
2dt =
(t − 1)
44
20
= 0 Donc f
1est orthogonal ` a f
0et f
2.
4. On a donc 4 coefficients de la matrice M qui sont nuls. Il reste ` a d´eterminer les 5 autres φ(1, 1) =
Z
2 01 dt = 2
φ(f
0, f
2) = φ(f
2, f
0) = Z
20
(t − 1)
2dt = φ(f
1, f
1) =
(t − 1)
33
20
= 2 3 φ(f
2, f
2) =
Z
2 0(t − 1)
4dt =
(t − 1)
55
20
= 2 5 Donc
M =
2 0
230
230
2 3