Déterminer le reste de la division euclidienne de

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Mars 2009

Déterminer le reste de la division euclidienne de

^⎛_⎜

X 3

^⎞_⎟¹⁷

⎝

+

⎠

par

2

1 X + .

Analyse

On pose tranquillement la division euclidienne de

(

^X ⁺ ³

)

¹⁷^par^X²⁺¹ et on s’interroge sur l’art et la manière de s’affranchir de la « contrainte » du quotient …

Résolution

La division euclidienne de

(

^X ⁺ ³

)

¹⁷^par^X²⁺¹ s’écrit :

(

^X ⁺ ³

)

¹⁷ ⁼^{Q X}

^{( )}

^×

⁽

^X²^{+ +}¹

⁾

^{R X}

^{( )}

⁼^{Q X}

^{( )}

^×

⁽

^X²^{+ +}¹

⁾

^aX ⁺^b

Où a et b sont deux réels à déterminer puisque nous nous intéressons au reste R de cette division.

En choisissant X =i, on obtient alors :

(

ⁱ⁺ ³

)

¹⁷ ⁼^{Q i}

^{( )}

^×

⁽

ⁱ²^{+ + + = +}¹

⁾

^{ai b} ^{ai b}^.

On a classiquement :

( )

17 17 17 17

17 17 17 6 17 6

18 1

17 6 17 3 6 17

16

3 1 3 1

3 2 2 2 2

2 2 2 2

3 1

2 2 2

2 2

2 3

i i

i

i i i e e

e e e i

i

π π

π

− −

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎢⎢⎣ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎥⎥⎦ = ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ =

⎛ ⎞

= = = − ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

= − +

Alors :

( )

¹⁷ ¹⁶

( )

¹⁶ 16

3 2 3 2

3 2

i ai b i ai b a

b

⎧ =⎪

+ = + ⇔ − + = + ⇔ ⎨

= − ×

⎪⎩

On a finalement :

( )

²¹⁶

(

³

)

R X =aX+ =b X −

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Mars 2009

Résultat final

Le reste de la division euclidienne de

(

^X ⁺ ³

)

¹⁷^par^X²⁺¹ est le polynôme R défini par :

( )

²¹⁶

(

³

)

R X = X −