MPSI 2
Exercice 1 Division euclidienne
1. Effectuer la division euclidienne de4X3+X2parX+ 1 +i.
2. Montrer queanXn+an−1Xn−1+. . .+a0 est divisible parX−1si et seulement siPn
k=0ak = 0.
Quel rapport avec la preuve par 9?
3. SoitaetbdansKetP =X3+X2+ 1etQ=X2+X+ 1dansK[X]. Déterminer(P−a)∧(Q−b).
4. Soitαun réel etndansN∗. Déterminer le reste de la division euclidienne de(cos(α) +Xsin(α))n parX2+ 1.
5. SoitP un polynôme deR[X]. Déterminer le reste de la division euclidienne de1 +P+P2+..+Pn par1 +P+P2.
6. SoitP un polynôme deC[X]. Déterminer le reste de la division euclidienne deP par(X−a)2en fonction deP(a)et P0(a).
7. Déterminer le reste de la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : A = Xn et B =X2−3X+ 2,A=Xn etB= (X−1)2,A=X2n+p+ 1et B=X2n+ 1.
8. Avec A = Xn −1 et B = Xn−X, on définit f l’application qui à un polynôme P associe le reste de la division euclidienne deAP parB. Montrer que c’est un endomorphisme deRn−1[X]et déterminer ses noyau et image.
9. On poseA=X4+X3−3X2−4X−1etB=X3+X2−X−1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de A et de B ainsi que les coefficients de Bézout de A et B. Déterminer tous les polynômes U et V de R[X]tels que AU+BV = (X+ 1)(X+ 2).
10. On considère deux polynômes :A=X2+X+ 1et B=X2n+Xn+ 1. Déterminer les valeurs de l’entier naturelnpour lesquellesAdiviseB.
11. SoitA,B, CdansC[X] tels queA∧B= 1. MontrerA∧C=A∧(BC).
12. SoitAet B dansK[X]non nuls. MontrerA∧B = 1⇔(A+B)∧AB= 1.
13. SoitAet B dansK[X]. MontrerA2|B2⇒A|B.
14. Soit P et Qdeux polynômes de K[X]premiers entre eux. Montrer (P2+Q2)∧P Q = 1. Que se passe-t-il si P∧Q6= 1?
15. SoitP dansK[X]. Montrer queP−X diviseP◦P−P et aussiP◦P−X.
16. Trouver les polynômesP deR[X]tels que (X+ 1)|P et les restes de la division euclidienne deP parX+ 2,X+ 3 etX+ 4sont les mêmes.
Exercice 2 Polynômes
1. SoitP ∈K[X]. Montrer P(X+ 1) =P+∞
n=0 1
n!P(n)(X).
2. Montrer que l’application ∆ définie par P 7→ P −P(X + 1) est un endomorphisme de C[X].
Montrer deg(∆(P))<deg(P), puis∆k(P) = (−1)k
k
X
i=0
(−1)i k
i
P(X +i). En déduire que siP
est de degré inférieur àn,
n
X
k=0
(−1)k n
k
P(k) = 0.
3. Soit P(X) =Xn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0 ∈C[X]. Montrer que si ξ est racine de P alors
|ξ| ≤1 + max0≤k≤n−1|ak|.
4. Soit(un)n∈N défini paru0= 1etun =nun−1+ (−1)n. On posePn =
n
X
k=0
n k
un−kXk. Montrer (n−1)(un−1+un−2) =un et Pn−nPn−1= (X−1)n. CalculerPn(X+ 1)et en déduireun/n! =
n
X
k=2
(−1)k k! .
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5. SoitP dansR[X]de degrén≥1 et unitaire. MontrerP0|P ⇔ ∃a∈R,P = (X−a)n.
6. Soitn∈N∗,x1,. . ., xn nréels deux à deux distincts. On considère alors la famille de polynômes (Li)1≤i≤n définie par : ∀i ∈ [1, n], Li =
n
Y
k=1 k6=i
X−xk xi−xk
. Pour i ∈ [1, n], déterminer le degré de Li,
les racines de Li et Li(xi). Démontrer
n
X
j=1
Lj = 1. Soit P un polynôme de Rn−1[X]. Démontrer
P =
n
X
j=1
P(xj)Lj.
Exercice 3 Relations de Newton (coefficients-racines) 1. SoitP =X3+ 2X−1 =Q4
i=1(X−xi)dansC[X], calculers4=P3 i=1x4i.
2. Soitaetb deux racines distinctes deX3+ 3X2+X+ 1. Calculera2b+ab2+ 3ab.
3. Trouver une relation entre les coefficients de l’équation de x4+ax3+bx2+cx+d = 0, pour exprimer que le produit de deux racines est égale à celui des deux autres. Montrer que l’on peut alors résoudre cette équation en la divisant parx2et en faisant la substitutiony=x+axc . Résoudre x4+ 2x3+ 2x2+ 10x+ 25 = 0.
4. Trouver une relation entre les coefficients de l’équation de x4+ax3+bx2+cx+d = 0, pour exprimer que la somme de deux racines est égale à celle des deux autres. Montrer que l’on peut alors résoudre cette équation en la transformant en une équation bicarrée en posant y = x− a4. Résoudrex4+ 2x3+ 3x2+ 2x−3 = 0.
5. SoitP un polynôme dont les seuls coefficients non nuls valent 1 ou−1. On suppose que toutes les racines deP sont réelles, montrer que son degré est inférieur à 3. (Indication : utilisez les inégalités entre moyennes.)
Exercice 4 Lemme de Descartes, conjecture « a,b, c » et théorème de Fermat (pour les polynômes)(*) 1. SoitP un polynôme à coefficients réels etV(P)le nombre de changements de signes dans la suite de ses coefficients (en ignorant les 0). Montrer que le nombre de racines positives deP est majoré parV(P)et a la même parité.
2. Soit A, B et C trois polynômes de C[X], premiers entre eux dans leur ensemble et vérifiant C=A+B.
(a) Montrer queA, B etC sont premiers entre eux deux à deux.
(b) Montrer, en utilisantA∧A0 et ses semblables, ainsi que P =AB0−A0B, le nombre total de racines deA,B etC, comptées sans multiplicités (i.e. le cardinal de l’ensemble desz dansC tels queA(z)B(z)C(z) = 0) est strictement supérieur au plus grand des degrés des polynômes A, B etC.
(c) En déduire que, si n est entier naturel supérieur ou égal à 3, il n’existe aucun triplet de polynômesA, B etC deC[X]non proportionnels et satisfaisantAn+Bn=Cn.
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