1S Correction Fiche TP 14 2015-2016
Trois questions indépendantes les unes des autres :
◮ Soit α ∈ R.
cos( α ) + cos
α + 2 π 3
+ cos
α + 4 π
3
= cos( α ) + cos( α ) cos 2 π
3
− sin( α ) sin 2 π
3
+ cos(α) cos 4π
3
− sin(α) sin 4π
3
= cos(α) − 1
2 cos(α) −
√ 3
2 sin(α) − 1
2 cos(α) +
√ 3 2 sin(α)
= 0
Relation vraie avec des sinus (laissé à la sagacité du lecteur)
◦ • ◦ • ◦
◮
(2 cos( x ) + 1)(2 sin( x ) + 1) = 0 x ∈ [ − 2 π ; 2 π ] ⇔
2 cos( x ) + 1 = 0 ou 2 sin( x ) + 1 = 0
x ∈ [ − 2 π ; 2 π ] ⇔
(
cos( x ) = − 1
2 ou sin( x ) = − 1 x ∈ [ − 2π; 2π] 2
⇔ (
x = 2π
3 + 2k
1π ou x = − 2π
3 + 2k
2π ou x = − π
6 + 2k
3π ou x = − 5π
6 + 2k
4π avec k
1, k
2, k
3, k
4∈ Z x ∈ [ − 2π; 2π]
Finalement, S = 2π
3 , − 2π 3 , 4π
3 , − 4π 3 , − π
6 , − 5π 6 , 7π
6 , 11π 6
◦ • ◦ • ◦
◮
− 2 6 2 sin(x) < 1
x ∈ [0; 2π] ⇔
(
sin(x) > − 1 et sin(x) < 1
x ∈ [0; 2π] 2 ⇔
sin(x) < 1 2
(∗)
x ∈ [0; 2π] ⇔ x ∈ h 0; π
6 h
∪ 5π
6 ; 2π
(∗)
