.cos 2 .cos

(1)

Résoudre :

( ) ( )

.cos 2 .cos

x y a

x y z b S

x y z c

α α z

β β

γ γ

+ =

+ + =

⎧ +

⎪ ⎨

⎪ ⎩

Analyse

On étudie la matrice associée au système. Une relation trigonométrique simple permet d’en ramener le déterminant à un déterminant classique dont la nullité est facile à étudier.

Résolution

La matrice A associée au système s’écrit :

( ) ( ) ( )

2 2 2

cos 2 cos 1 2 cos 1 cos 1

A cos 2 cos 1 2 cos 1 cos 1

cos 2 cos 1 2 cos 1 cos 1

α α α α

β β β β

γ γ γ γ

⎛ − ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟=⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D’où :

2 2

2 cos 1 cos 1 2 cos cos 1

det A 2 cos 1 cos 1 2 cos cos 1

2 cos 1 cos 1 2 cos cos 1

cos cos 1 1 cos cos

2 cos cos 1 2 1 cos cos

cos cos 1 1 cos cos

α α α α

β β β β

γ γ γ γ

α α α α

β β β β

γ γ γ γ

−

= − =

−

= = −

(2)

D’où, finalement :

( )( )( )

2 2 2

1 cos cos

det A 2 1 cos cos 2 cos cos cos cos cos cos

1 cos cos

α α

β β γ β γ α β α

γ γ

= − = − − − −

On va donc distinguer deux cas principaux.

1^er cas : cosγ ≠cosβ et cosγ ≠cosα et cosβ ≠cosα.

Dans ce cas, on a det A≠0. Le système est un système de Cramer et il admet donc une solution unique :

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )

cos 1

det A

cos cos cos cos cos cos

2 cos cos cos cos cos cos

1

a b x c

a b c

α β γ

β γ α γ α β

γ β γ α β α

=

− − − + −

= − − − −

− − − + −

= − − −

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

(

² ²

) (

² ²

)

cos 2 1

det A

cos 2 cos 2 cos 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

1

2 cos cos 2 cos cos 2 cos

1 2

a b y c

b c a c a b

a b c

a b

α β γ

γ β γ α β α

γ β γ α

=

− − − + −

= − − − −

−⎡⎣ − ⎤⎦ +⎡⎣ − ⎤⎦ −⎡⎣ − ⎤⎦

= − − −

− − + − −

=

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 cos2

1 1

2 cos cos cos cos

2 cos cos cos cos 2 cos cos cos cos

c

a

b c

β α

γ β γ α β α

γ β γ β

γ β γ α β α

γ α γ α β α β α

−

− − −

= − − − ⎡⎣− + −

+ + − − + − ⎤⎦

(3)

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) { ( ) ( )

( ) ( )

cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos det A

1 cos 2 cos cos

cos 2 cos cos cos 2 cos cos

1 1

cos 2 cos cos 2 cos

cos 2 cos cos 2 cos a

b z c

c b

c a b a

a b

α α

β β

γ γ

α β γ

γ β γ α β α

β α γ γ α β

β γ γ β

γ β γ α β α

α γ γ α

=

= − − − − ⎡⎣ −

− − + − ⎤⎦

= − − − − ⎡⎣ − ⎤⎦

+ −⎡_⎣ + ^⎤_⎦⁺^c^⎡_⎣^{cos 2}

( )

^α ^cos^β⁻^{cos 2}

( )

^β ^cos^α^⎤_⎦

}

On a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 2

cos 2 cos cos 2 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos

2 cos cos 1 cos cos

β γ γ β β γ γ β

β γ β γ β γ

β γ β γ

− = − − −

= − + −

= + −

On en déduit, de façon similaire :

( ) ( ) ( )( )

cos 2 cos cos 2 cos 2 cos cos 1 cos cos cos 2 cos cos 2 cos 2 cos cos 1 cos cos

α γ γ α γ α γ α

α β β α α β α β

− + = + −

− = + −

Finalement :

( )( )( ) ( { )( )

( )( ) ( )( ) }

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 1

2 cos cos 1 cos cos

2 cos cos 1 cos cos 2 cos cos 1 cos cos

1 1

2 cos cos 1 cos cos

2 cos cos 1 cos cos 2 cos cos 1 cos cos

z a

b c

a

b c

β γ β γ

γ β γ α β α

γ α γ α α β α β

γ β γ β

γ β γ α β α

γ α γ α β α β α

= − + −

− − −

+ + − + + −

= − − − ⎡⎣ + −

− + − + + − ⎤⎦

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

1

1 1

2 cos cos cos cos

a b c

x

y a

γ β γ α β α

γ β γ β

− − − + −

= − − −

= ⎡⎣− + −

(4)

2^ème : cosγ =cosβ ou cosγ =cosα ou cosβ =cosα.

Supposons qu’au moins l’une de ces égalités est vérifiée, par exemple : cosγ ⁼cosβ ^. On a dans ce cas : ^{cos 2}

( )

^γ ⁼^{2 cos}²^γ^{− =}¹ ^{2 cos}²^β^{− =}¹ ^{cos 2}

( )

^β ^.

Le système se récrit alors :

( ) ( ) ( )

.cos 2 .cos .cos 2 .cos .cos 2 .cos

x y z a

x y z b

x y z c

α α

β β

+ + =

⎧⎪

+ + =

⎨⎪ + + =

⎩

Deux situations sont alors envisageables :

• b≠c : les équations du système sont incompatibles et il n’y a pas de solution.

• b=c : le système initial est équivalent au système :

( ) ( )

.cos 2 .cos .cos 2 .cos

x y z a

x y z b

α α

β β

+ + =

⎧⎪⎨

+ + =

⎪⎩

Comme les coefficients de « z » valent tous deux 1, on poursuit alors la discussion selon que cosα est ou non égal à cosβ :

o Si cosα ≠cosβ : le système admet une infinité de solutions

(géométriquement, il s’agit d’une droite, intersection de deux plans).

o Si cosα =cosβ :

Si a=b : le système est équivalent à l’équation

( )

.cos 2 .cos

x α +y α+ =z a.

Si a≠b : les équations sont incompatibles et le système n’admet pas de solution.

En définitive, si au moins l’une des trois égalités cosγ =cosβ , cosγ =cosα ou cosβ =cosα est vérifiée, on a deux possibilités :

• Pour chacune des égalités, les seconds membres des équations correspondantes sont égaux : le système admet une infinité de solutions.

• Pour au moins une des égalités, les seconds membres des équations correspondantes ne sont pas égaux : le système n’admet pas de solution.

(5)

Résultat final

Si aucune des trois égalités cosγ =cosβ , cosγ =cosα et cosβ =cosα n’est vérifiée, alors le système

( )

^S admet une unique solution (système de Cramer).

Si au moins l’une des trois égalités cosγ =cosβ , cosγ =cosα ou cosβ =cosα est vérifiée, on a deux possibilités :

• Pour chacune des égalités, les seconds membres des équations correspondantes sont égaux : le système admet une infinité de solutions.

• Pour au moins une des égalités, les seconds membres des équations correspondantes ne sont pas égaux : le système n’admet pas de solution.