A486 – Arithmétique polygonale [*** à la main]
Q₁ - Les dimensions des côtés d’un quadrilatère sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des trois autres. Démontrer que deux côtés au moins de ce quadrilatère sont égaux.
Q₂ - Les dimensions des côtés d’un pentagone sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des quatre autres. Démontrer que deux côtés au moins sont égaux ou bien que les dimensions distinctes des côtés sont homothétiques à celles d’un quintuplet primitif unique.
Solution
Q₁
On suppose que les longueurs a,b,c et d des quatre côtés du quadrilatère sont distinctes soit a < b < c < d. Le quadrilatère étant non aplati, on a d < a + b + c < 3d.
Comme d divise a + b + c, on en déduit a + b + c = 2d. D'où a + b + c + d = 3d.
Chacun des termes a,b,c et d divise la somme. On pose x = 3d/a, y = 3d/b et z = 3d/c.
Les inégalités a < b < c < d entrainent x > y > z >3. D'où z ≥ 4, y ≥ 5 et x ≥ 6.
Ce qui donne 2d = a + b + c ≤ 3d/6 + 3d/5 + 3d/4 < 2d. Contradiction.
Nouvelle hypothèse: deux côtés au moins sont égaux.
On vérifie que cette hypothèse est satisfaite avec le quadrilatère (1,3,4,4)
Q₂
Soient a,b,c,d,e les longueurs distinctes des cinq côtés du pentagone : a < b < c < d < e et a + b + c + d > e.
On pose S = a + b + c + d + e puis v = S/a, w = S/b, x = S/c, y = S/d et z = S/e qui sont des entiers tels que 1/v + 1/w + 1/x + 1/y +1/z = 1 (E)
En prenant S = PPCM(v,w,x,y,z), le quintuplet primitif (a,b,c,d,e) est déterminé de manière unique.
Or le nombre de solutions de l'équation (E) est fini.En effet le plus petit des cinq termes z vaut au plus 4.
Pour chacune des valeurs possibles de z = 2,3 ou 4, le même raisonnement conduit à une borne supérieure de y donc à un nombre fini de valeurs possibles de y et ainsi de suite...
La valeur z = 2 est exclue, sinon le plus grand terme e = S/2 serait égal à la somme des quatre autres.
De très rapides calculs à la main montrent que seule la valeur z = 3 est possible. Elle donne une solution unique (v,w,x,y,z) = (20,6,5,4,3) telle que S = 60 et 1/20 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3= 1 à laquelle correspond l'unique quintuplet primitif (a,b,c,d,e) recherché = (3,10,12,15,20)
Par ailleurs on vérifie qu'avec deux côtés identiques, une solution au moins existe, par exemple:
(a,b,c,d,e) = (1,2,2,3,4).
