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cos x + cos 2x + cos 3x = 0 2. Résoudre

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. Résoudre

cos x + cos 2x + cos 3x = 0 2. Résoudre

3 tan x = 2 cos x (on pourra former une relation vériée par sin x )

Corrigé

1. L'expression cos x + cos 2x + cos 3x est la partie réelle d'une somme géométrique d'ex- ponentielles. On en déduit que pour x non congru à 0 mod 2π

cos x + cos 2x + cos 3x = cos 2x sin

3x2

sin

x2

Les nombres congrus à 0 mod 2π ne sont pas solutions. Les solutions sont les x annulant le cos ou le sin du numérateur. L'ensemble des solutions est donc

( π 4 + Z

π 2 ) ∪ ( 2π

3 + Z 2π) ∪ (− 2π

3 + Z 2π)

Les solutions de sin

3x2

= 0 sont les nombres congrus à 0 modulo

2π3

mais à ces solutions, il faut enlever (pour l'équation qui nous est proposée) les nombres congrus à 0 modulo 2π . Cela explique la forme des solutions qui peut paraître étrange au premier abord.

Cet ensemble de solutions est obtenu plus facilement quand on s'y prend autrement en utilisant

cos x + cos 3x = 2 cos x cos 2x L'équation s'écrit alors

(2 cos x + 1) cos 2x = 0

2. Exprimons l'équation à l'aide de sin x uniquement. On obtient que x est solution si et seulement si sin x est solution de

2t

2

+ 3t − 2 = 0

Les solutions de cette équation sont

12

et −2 . Comme −2 n'est pas un sin , l'ensemble des solutions est formé par les x tels que sin x =

12

soit

( π

6 + 2π Z ) ∪ ( 5π

6 + 2π Z )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aelem6

Références

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