sin x cos x

LYCEE DE LOUGA ANNEE SCOLAIRE: 2012 – 2013 CLASSE DE 2^nde S DISCIPLINE : MATHEMATIQUES

ANGLES ET TRIGONOMETRIE Exercice 1

ABC est un triangle isocèle en A tel que mes(BÂC) =

π3. H est le projeté orthogonal de A sur (BC). La perpendiculaire en A à (AB) coupe (BC) en E. D est le projeté orthogonal de E sur (AC).

1. faire une figure.

2. Prouver que les points A, H, E et D appartiennent à un même cercle(C) 3. En utilisant la question 2) prouver que mes(AÊC) =

π3_.

4. En déduire que la droite (EC) est la bissectrice intérieure de l’angleAEˆD. Exercice 2

ABC est un triangle équilatéral de centre de gravité G tel que ait pour mesure principale 3 π . Déterminer, en radian, les mesures principales des angles orientés :

; ; ; ; .

Exercice 3

Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont l’une des mesures est β dans chacun des cas suivants :

6 37π β = ;

4 15π

β = ;

6 73π

β = ;

3 49π β =− ;

6 71π

β = ;

3 50π β = Exercice 4

Déterminer, si possible, la mesure β appartenant à l’intervalle I d’un angle orienté dont l’une des mesures est α dans chacun des cas suivants :

α ⁼

23π ; I = [4π^{; 6}π^[;

α ⁼ 6

17π ; I = [- 4π^{; 2}π[ α ⁼

5

39π ; I =] -8π ^{; -6}π^[ α ⁼

75π

− ; I =] 6π ^{; 8}π] Exercice 5

Sachant la valeur de cosx ou de sinx, calculer la valeur de l’autre

1) 3

cosx= 1 ; ⎢⎣

⎡

⎢⎣

∈⎡

; 2 0 π x

2)

2

sinx=−1 ; ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

∈ ;0

2 x π

3)

4

cosx=− 5 ; ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− −

∈ ; π2

x π Exercice 6

1. Vérifier que :

x x cos 2 1

tan

1+ = 2 ; _x π _kπ

+

≠

∀ 2 2. En déduire la valeur de tangente x sachant que

2

cosx = 3et ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡−

∈ ;0

2

x π .

Exercice 7

1. t est un élément de ⎢⎣

⎥ ⎡

⎦

⎤

, 2

0 π _{tel que :}

4 2 cos 6+

t = . Calculersint. 2. x est un élément de ⎢⎣

⎥ ⎡

⎦

⎤π _,π

2 tel que :

4 2

sin 6+

x= . Calculercosx. 3. y est un élément de ⎢⎣

⎥ ⎡

⎦

⎤− −

, π2

π ^{tel que :}

2 1

tan 3+

y = . Calculer cosyetsiny. 4. z est un élément de ⎢⎣

⎥ ⎡

⎦

⎤− ,0

2

π _{tel que :}

4

cosz = 3. Calculer une valeur approchée de z.

Exercice 8

A l’aide des formules relatives aux angles associés, transformer les expressions suivantes

A =

( )

cos 2 2 cos

3 ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

− π

B = x 5cos( x) 3sin( x) cosx

sin 2

2 ⎟+ − − − −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛π + π

C = ) sin( )

cos(2 )

sin( +x + +x − −x

− π π

π

D = sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

2 3

2 π ^π π

π +x + x− + x+ + x+

E = )

2 sin(5 5 ) 2 sin(

2 2 )

cos(3 − +x − x− + π +x

π π π

Exercice 9

Calculer en utilisant le tableau trigonométrique des angles remarquables

( )

cos−π ^cos

( )

( )

( )

sin π ^sin

( )

(

) ( )

tan π ^tan

( )

( )

Exercice 10

Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que : BC = a et ( , )=2π 5

→

→ BC

BA . La bissectrice de l’angle ABC coupe le coté [AC] en D. Faire une figure.

1. Démontrer que : AD = BD = a

2. Démontrer que:^AB=2acos

(

)

(

)

(

)

(

)

3. On appelle H le projeté orthogonal de A sur (BC). Calculer BH en fonction de a de deux manière différentes et en déduire que: ^cos

(

)

(

)

4. En remarquant que(x+y)² =(x− y)²+4xy, calculer : ^cos

(

)

(

)

5. Calculer ^sin

(

)

Exercice 11

IJK est un triangle équilatéral ; IMJ et IKL sont des triangles rectangles isocèles. Donner la mesure principale en radians des angles orientés cités :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Exercice 12

A partir du cercle trigonométrique, déterminer le signe de cosx et de sinxdans chacun des cas suivants:

a) ⎢⎣

⎡

⎢⎣

∈⎡

; 2 0 π

x ; b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

∈⎡π _;π

x 2 .

c) ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡− −

∈ ; π2

x π ; d) ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡−

∈ ;0

2

x π .

Exercice 13

Etablir les égalités suivantes

1. cos²x−sin²x=²cos²x−¹=¹−²sin²x 2. cos⁴x+sin⁴x =¹−²sin²xcos²x

3.

(

) (

)