D1915. Méli-mélo de sinus et de cosinus
On considère la variablexdéfinie sur l’intervalledb0, 2πec.
Q1 : quel est le plus grand des deux termes sin(cos(x)) ou cos(sin(x)) ?
Q2 : l’équation cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin(x))) a-t-elle des solutions ?
Solution de Claude Felloneau
Q1: Pour tout réelx, sin(cosx)<cos(sinx).
En effet,
cos(sinx)−sin(cosx)=cos(sinx)−cos
³π
2−cosx
´
=2 sinusinv avecu=1
2
³π
2+sinx−cosx´
etv=1 2
³π
2−sinx−cosx´ . Comme sinx−cosx=p
2 sin³ x−
π 4
´
, on a 1 2
³π 2−p
2´
6u61 2
³π 2+p
2´ . Orp
2<
π
2, donc 0<u<πet sinu>0.
De même, sinx+cosx=p 2 sin³
x+ π 4
´
, donc 0<v<πet sinv>0.
On en déduit que cos(sinx)−sin(cosx)>0 donc cos(sinx)>sin(cosx).
Q2: l’équation cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin(x))) n’admet pas de solution.
En effet, s’il existe un réelxvérifiant cette équation, en posanty=cos(cos(cosx)) etz=sin(sinx), on a−16y61,−16z61 et cosy=sin(sinz) ou encore cosy=cos³π
2−sinz´ . On en déduit que|y| =
π
2−sinz.
Doncπ
2−sinz61, soit sinz>
π
2−1. D’où sinz>1 2. Or−16z61, donc−
π 3 <z<
π
3, d’où|sinz| <1
2. On obtient donc deux inégalités contradic- toires.
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