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Chapitre n°8 : Dérivées de Sinus et Cosinus Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a 1 Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une
fonction
C8.b 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π
2 [ . q1. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
q2. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .
...
…...
q3. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM , du triangle OTI et du triangle OIM .
...
…...
q4. En déduire que sin x x sin x
cos x , puis que cos x sin x x 1.
...
...
...
...
...
...
...
q5. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
q6. En déduire la dérivée de sinus en 0 .
...
...
...
q7. Démontrer que ( cos h ) – 1
h = sin h
h × − sin h ( cos h ) + 1 .
...
...
...
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...
...
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I x
J M
O Sin x
cos x
T
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q8. En déduire la dérivée de cosinus en 0 .
...
...
...
q9. Démontrer que sin ( a + h ) − sin a
h = sin a × ( cos h ) − 1
h +cos a × sin h ... h ...
...
q10. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
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On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π 2 ) et cos (x + π
2 ) = – sin (x ). )
Cours n°1 : Dérivée de Sinus et Cosinus I) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°1
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°1 Propriété n°2
lim
x→0sin x
x =... et lim
x→0
( cos x ) −1 x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°1
Propriété n°3
La fonction sinus est impaire : sin (– x) = …...
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La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (– x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2 ) =…...…
Propriété n°4
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période …… .
… La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période …… .
…
Démonstration
...
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Exemple n°1
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos ( 2 x )
2 x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
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2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin ( 3 x )
3 x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
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3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x . h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
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...
...
Exemple n°2
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? ...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
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3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f .
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4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
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5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [– ; ].
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Se tester C8.1 (sur 10)
Objectifs :
Niveau 1 2 3 4
C8.a 1 Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une
fonction
C8.b 2 Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une
fonction
Exercice n°1 [/3]
Voici trois fonctions :
G est la fonction définie par G ( x ) = sin ( 4 x ) 4 x R est la fonction définie par R ( x ) = cos ( 4 x ) +2 x.
K est la fonction définie par K ( x ) = cos ( 2 x )
3 x
Pour chacune d’entre elle, indiquer si la fonction est paire, impaire, ou aucune des des deux, en justifiant la réponse.
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Exercice n°2 [/7]
1 [1] . Soit f la fonction définie par f(x)=sin(3x) .Quelle est sa périodicité ?
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2 [1] . f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
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3 [1] . Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f .
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4 [2] . Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe.
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5 [2] . Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur
[–;] .
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Résultats
Ex.1 : Dans le désordre : paire ; impaire ; ni paire ni impaire.
Ex.2 : 1. 2
3 π 2. impaire 3. [0; 2
3 π] 4. f ’(x)=3cos(3x) . + entre 0 et π
6 , - entre π
6 et π
3 ...
Interrogation n°1 Objectifs
C8.a_Niv1 : Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction C8.b_Niv2 : Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°1
Ex.68 p.87 Exercice n°2
Ex.87 p.88 Exercice n°3**
Ex.107 p.89 Exercice n°4***
Sujet D p.98 Exercice n°5***
Ex.143 p.99
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Exercice n°1 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x
2cos x.
Exercice n°2 -Ex.87 p.88- lim
x→+∞
f ( x ) =− ∞ lim
x→−∞
