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Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; /f{%pi;2}[. a. Que peut-on dire de /lim{x;0;/f{sinx;x}} ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx.
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…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.
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…...
d. En déduire que sin x x /f{sin x ; cos x}, puis que cos x /f{sin x ; x} 1.
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e. En déduire /lim{x;0;/f{sinx;x}}.
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f. En déduire la dérivée de sinus en 0. /.
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g. Démontrer que /f{(cos h) – 1;h}=/f{sin h;h} × /f{-sin h;(cos h) +1}.
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h. En déduire la dérivée de cosinus en 0.
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i. Démontrer que /f{sin(a+h)-sin a;h} = sin a × /f{(cos h)-1;h} +cos a × /f{sin h ;h}
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k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
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I x
J M
O Sin x
cos x
T
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On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + /f{%pi;2}) et cos (x + /f{%pi;2}) = – sin (x).)
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