> restart:
(2 points) 1. Calculer la dérivée de la fonction réelle := f x → sin(sin(sin x( ))).
> f := x-> cos(tan(x));
D(f)(x);
:=
f x → cos(tan x( ))
−sin(tan x( ))(1 + tan x( )2) (2 points) 2. Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence :
=
u0 1, u1 = 1 et pour tout n entier naturel un + 2 + un + 1 − 2 un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
> rsolve({u(0)=1,u(1)=1,u(n+2)+u(n+1)-2*u(n)=2},u(n));
+ +
7 9
2 (-2)n 9
2 n 3 (2 points) 3. Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence :
=
u0 1, u1 = 1 et pour tout n entier naturel (n2 + + n 1 u) n + 2 + (n + 1 u) n + 1 + un = 0.
Donner le terme u50 de cette suite approché au dixième près.
> u[0]:=0:u[1]:=1:
for n from 0 to 48 do
u[n+2]:=-((n+1)*u[n+1]+u[n])/(n^2+n+1) od:
u[50];evalf(u[50]);
16808640992529979775703614237300900825677 325875855966712846257272654311699\ / 07518288090375407421543145658068459198664760790557754090591751739715523
0.5157989058 10-63
(2 points) 4. L'usage du package linalg de maple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soit la matrice A =
1 2 0
2 1 2
0 1 2
. Calculer A3 − 2 A2 + 3 A − 4 I3 où I3. Donner l'inverse de la matrice A.
> with(linalg):
A:=matrix([[1, 2, 0], [2, 1, 2], [0, 1, 2]]);
evalm(A^3-2*A^2+3*A-4);
inverse(A);
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
:=
A
1 2 0
2 1 2
0 1 2
2 16 8 16 6 20 4 10 8
0 1
2
-1 2 1
2
-1 4
1 4 -1
4
1 8
3 8
(2 points) 5. Rechercher l'ensemble des points d'intersection de l'ellipse d'équation cartésienne =
+ x2 y2
4 1 et la droite d'équation y = x + 1 2. .
> solve({x^2+y^2/4 = 1,y = (x+1)/2},{x,y});
,
{x = -1,y = 0} {x = 15, } 17 y = 16
17
(2 points) 6. Calcluer d
⌠
⌡
1 x
+ t 1
− t2 1
t.
> int((t+1)/sqrt(t^2-1),t = 1 .. x);
+ −
x2 1 ln(x + x2 − 1)
(2 points) 7. Soit la surface A délimitée inférieurement par la parabole d'équation y = x2 et
supérieurement par la droite d'équation y = − − 3 x 2 pour des valeurs de x comprises entre -2 et -1.
Donner les coordonnées du centre de gravité de la surface A.
> solve({y = x^2,y = -3*x-2},{x,y});
aire:=int(int(1,y=x^2..-3*x-2),x=-2..-1);
momentx:=int(int(x,y=x^2..-3*x-2),x=-2..-1);
momenty:=int(int(y,y=x^2..-3*x-2),x=-2..-1);
xG:=momentx/aire;#abscisse du centre de gravité yG:=momenty/aire;#ordonnée du centre de gravité
,
{x = -2,y = 4} {y = 1,x = -1} :=
aire 1 6 :=
momentx -1 4 :=
momenty 2 5 :=
xG -3 2 :=
yG 12 5 (2 points) 8. Résoudre D f( )( )x − x ( )f x = x3.
> dsolve(D(f)(x)-x*f(x) = x^3,f(x));
Error, (in dsolve) expecting an ODE or a set or list of ODEs. Received -sin(tan(x))*(1+tan(x)^2)-x*cos(tan(x)) = x^3
(2 points) 9. Représenter sur un même graphique la fonction réelle qui à x associe x2 + 1 − x et sa tangente en x = 1.
Déterminer la limite de la fonction f en ∞.
> f:=x->sqrt(x^2+1)-x;
T:=x->D(f)(1)*(x-1)+f(1);
plot({f(x),T(x)},x=-3..3);
limit(f(x),x=infinity);
:=
f x → x2 + 1 − x :=
T x → D f( )( )1 (x − 1) + f 1( )
0
(2 points) 10. Représenter graphiquement la courbe d'équations paramétriques =
( )
x t 1
− + t2 3 t 2
= ( )
y t t
− + t2 3 t 2, pour t dans [0,3].
> plot({[1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=0..0.9], [1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=1.1..1.9], [1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=2.1..3]});
>
> FIN
>
Warning, premature end of input
