Exercice 1 (Dérivée n-ième de cos et sin) On note f la fonction x 7→ e

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021

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Exercices sur les équations différentielles Pour démarrer

Exercice 1 (Dérivée n-ième de cos et sin) On note f la fonction x 7→ e

^ix

. Soit x ∈ R . Écrire sous forme exponentielle la dérivée n-ième f

⁽ⁿ⁾

(x). En déduire une formule simple donnant l’expression de la dérivée n-ième de cos et de sin.

Exercice 2 On note f la fonction définie par f ( x ) = x

²

e

^3x

et ( E ) l’équation diffé- rentielle suivante :

xy

^′

(x) = (3x + 2)y(x).

1. Démontrer que f est une solution de (E) sur ]0, +∞[.

2. En déduire les solutions de ( E ) sur ]0 , +∞[.

Exercice 3 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : 1. y

^′

+ y = x . 2. y

^′

− 2 y = x

²

+ 1 3. y

^′

+ y = 2(e

^x

+ e

⁻^x

) Exercice 4

1. Déterminer une primitive de x 7→

^lnx_x³

. 2. Résoudre sur R

^∗

+

l’équation différentielle xy

^′

− 2 y = ln x .

Exercice 5 (Raccords) Pour chacune des équations différentielles (E) ci-dessous, répondre aux questions posées :

1. x

²

y

^′

+ xy = 1. 2. t

²

y

^′

(t) − y(t) = 0. 3. xy

^′

− ny = 0 dans les cas n = 1 et n = 2.

• Résoudre ( E ) sur ]0 , +∞[.

• En déduire les solutions de (E) sur ] − ∞, 0[.

• Existe-t-il des solutions de (E) sur R ?

Exercice 6 (Raccords 2) On considère l’équation (E) : (x − 1)y

^′

+ xy = x

²

− 1.

Résoudre ( E ) sur ] − ∞ , 1[ ou ]1 , +∞[, puis sur R . Exercice 7 Résoudre les équations différentielles :

1. y

^′′

− 2y

^′

+ y = 2e

^x

. 2. y

^′′

+ 4y

^′

+ 4y = e

⁻^x

3. y

^′′

− 2y

^′

+ y = 2x

²

− 8x + 5 4. y

^′′

− 4y

^′

+ 4y = sin x. 5. y

^′′

− 2y

^′

+ 2y = 2e

^x(1+i)

6. y

^′′

− 2y

^′

+ 2y = 2e

^x

cos x

Quelques réponses : une solution particulière pour (E

3

) est y

p

(x) = 2x

²

+1. Pour

(E

6

), y

p

(x) = xe

^x

sin x.

(2)

2

Plus raffiné et/ou difficile

Exercice 8 (Trouve l’équation à partir des solutions)

1. Soit f : x 7→ x

²

+ 1. Déterminer une fonction continue a : R → R telle que f

^′

= af .

2. Généralisation : soit f : R → R dérivable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une fonction continue a : R → R telle que f

^′

= af . Exercice 9 Déterminer toutes les fonctions continues f : R → R telles que :

∀x ∈ R , f (x) = 2

^Z ^x

0

f (t) dt + 3.

Exercice 10 (Raccords 3) On considère l’équation

(E) : xy

^′

(x) − (1 − 2x

²

)y(x) = 2x

³

.

1. Déterminer une solution particulière de (E) sous forme polynomiale.

2. Résoudre ( E ) sur R .

Exercice 11 (Zéros d’une solution d’ED ) On considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 ( E ) à coefficients constants :

ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0.

1. Quel est le nombre de zéros possible d’une solution d’une ED linéaire homogène du premier ordre ?

2. Déterminer une équation différentielle du type (E) qui admet au moins une solution qui ne s’annule pas.

3. Déterminer une équation différentielle du type (E) qui admet au moins une solution non nulle qui s’annule une seule fois.

4. Déterminer une équation différentielle du type ( E ) qui admet au moins une solution non nulle qui s’annule une infinité de fois. Écrire les zéros de cette solution comme les termes d’une suite.

5. Que dire d’une solution f de (E) vérifiant f (x

0

) = f

^′

(x

0

) = 0 pour un certain réel x

₀

? En déduire que la fonction g : x 7→ (x − 1)

²

ne peut-être une solution de ( E ).

Exercice 12 (solutions bornées) Soit b : R

⁺

→ R une fonction continue et bor- née. On note ( E ) l’équation différentielle y

^′

( x ) + y ( x ) = b ( x ). Démontrer que les solutions de ( E ) sont bornées sur R

⁺

.

Exercice 13 (Changement de fonction inconnue) Soit (a, b, c) ∈ R

^∗

× R

²

. Le but de l’exercice est de résoudre sur R

^∗

+

l’équation différentielle : ( E ) ax

²

y

^′′

+ bxy

^′

+ cy = 0 .

1. Soit y :]0, +∞[→ R une fonction deux-fois dérivable. Pour tout t ∈ R , on pose

z(t) = y(e

^t

).

(3)

3 (a) Justifier que la fonction z est deux fois dérivable sur R et calculer z

^′

(t)

et z

^′′

( t ).

(b) Démontrer que la fonction y est solution de (E) sur R

^∗

+

si et seulement si la fonction z est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants que l’on déterminera.

2. Application : déterminer les solutions de x

²

y

^′′

− xy

^′

+ y = 0 sur R

^∗

+

.

Exercice 14 (Une caractérisation des fonctions exponentielles) Le but de l’exer- cice est de déterminer toutes les fonctions f dérivables de R dans C vérifiant l’égalité

(⋆) ∀(x, y) ∈ R

²

, f (x + y) = f (x)f (y).

Pour cela on mène un raisonnement par «analyse-synthèse».

Analyse : Soit f une fonction dérivable de R dans C vérifiant l’égalité ( ⋆ ).

1. Démontrer avec soin que f (0) ∈ {0 , 1}. Que dire de f si f (0) = 0 ? On suppose désormais jusqu’à la fin de l’analyse que f (0) = 1.

2. Démontrer que ∀x ∈ R , f

^′

(x) = f (x)f

^′

(0).

3. On pose a = f

^′

(0). Déterminer l’expression de f en fonction de a , puis conclure ( Synthèse ).

Exercice 15 Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble S(E) des fonctions f dérivables sur R telles que :

∀x ∈ R , f

^′

(x) = 2f (−x) + x (E).

1. Résoudre l’équation différentielle (F ) : y

^′′

+ 4y = 2x + 1 (on pourra chercher une solution particulière sous forme polynomiale).

2. Soit f une solution de ( E ).

(a) Justifier que f est deux fois dérivable sur R . (b) Démontrer que f est aussi solution de (F ).

3. Démontrer que

S(E) = {x 7→ 1 4 + x

2 + λ(cos(2x) + sin(2x)) | λ ∈ R }.

Exercice 16 (ED non linéaire) résoudre l’équation différentielle E : y

^′