> f := x-> sin(sin(sin(x)));
D(f)(x);
:=
f x → sin(sin(sin x( )))
( )
cos sin(sin x( )) cos(sin x( ))cos x( )
(2 points) Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence : u0 = 1, u1 = 1 et un + 2 + un + 1 − 2 un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
> rsolve({u(0)=1,u(1)=1,u(n+2)+u(n+1)-2*u(n)=2},u(n));
+ + 7
9 2 n
3
2 (-2)n 9
(2 points) Représenter graphiquement la courbe d'équations paramétriques =
( )
x t 1
− + t2 3 t 2 =
( )
y t t
− + t2 3 t 2
, pour t dans [0,3].
> plot({[1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=0..0.9], [1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=1.1..1.9], [1/(t^2-1),t/(t^2-3*t+2),t=2.1..3]});
>
> restart:
EXERCICE 1 (4 points) Etude d'une fonction.
Soit a un paramètre réel strictement positif, et la fonction réelle := f x → x + a
x, définie sur ] ,0 ∞[.
1) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
2) Donner les limites de la fonction f en 0 et en ∞. Déterminer l'asymptote oblique A en l'infiini.
3) Déterminer le minimum de la fonction f.
4) Donner l'équation de la tangente T de la fonction f au point d'abscisse a.
5) Dans le cas où a=2, représenter graphiquement la fonction f, la tangente T et l'asymptote oblique A sur un même graphique.
> f:=x->x+a/x;
limit(f(x),x=0,right);#la limite en 0 est +infinity ; la droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe représentative de f en
nfinity);#la droite d'équation y=x est asymptote à la courbe représentative de f en infinity
solve(diff(f(x),x)=0,x);#la fonction décroît strictement sur ]0,sqrt(a)] et croît strictement sur [sqrt(a),infinity[
f(sqrt(a)); #elle présente donc un minimum en sqrt(a) qui est 2*sqrt(a)
T:=X->D(f)(a)*(X-a)+f(a);
simplify(T(x));
:=
f x → x + a x ( ) signum a ∞
∞ 1 0 , a − a
2 a :=
T X → D f( )( )a (X − a) + f a( ) − +
a x x 2 a a
> plot({x+2/x,x,(x+4)/2},x=.1..4);
> restart:
EXERCICE 2 (6 points)
Soit u l'endomorphisme de R^4 ayant pour matrice A =
1 2 4 8
a 1 2 4
0 a 1 2
0 0 a 1
.
1) Discuter la bijectivité de u (c'est-à-dire de l'inversibilité de la matrice A) en fonction du
paramètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2) Dans chacun des cas où u n'est pas bijective (c'est-à-dire lorsque la matrice A n'est pas inversible), donner le noyau (une base et sa dimension), l'image (une base et sa dimension) de u.
3) a)Dans le cas où a = 1, donner la matrice A4.
b) Dans le cas où a est quelconque, donner la matrice
− + +
A4 4 A3 (− + 6 a 6 A) 2 (− + 4 12 a − 8 a2)A.
unprotected
> A:=matrix(4,4,[1,2,4,8,a,1,2,4,0,a,1,2,0,0,a,1]);
:=
A
1 2 4 8
a 1 2 4
0 a 1 2
0 0 a 1
En calculant le déterminant
> factor(det(A));solve(factor(det(A))=0,a);
−(2 a − 1)3 1, , 2
1 2
1 2 ou par la décomposition LU,
> LUdecomp(A,L='l',U='u');
1 2 4 8
0 1 − 2 a 2 − 4 a 4 − 8 a 0 0 1 − 2 a 2 − 4 a
0 0 0 1 − 2 a
> L:=evalm(l);U:=evalm(u);multiply(L,U):#on vérifie A=LU
:=
L
1 0 0 0
a 1 0 0
0 − a
−
2 a 1 1 0
0 0 − a
− 2 a 1 1
:=
U
1 2 4 8
0 1 − 2 a 2 − 4 a 4 − 8 a 0 0 1 − 2 a 2 − 4 a
0 0 0 1 − 2 a
on s'apperçoit que les problèmes concernant l'inversibilité de la matrice A ne peuvent provenir que lorsque a − 1 = 0 (i.e. a = 1).
> inverse(A);#l'inverse de A qui peut aussi être obtenue à partir de la décomposition LU
− 1
− 2 a 1
2 −
2 a 1 0 0
− a
− + 1 4 a 4 a2
1 − + 1 4 a 4 a2
2 −
2 a 1 0
− a2
− + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3
a
− + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3
1 − + 1 4 a 4 a2
2 − 2 a 1 a3
− + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3 − a2
− + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3 − a − +
1 4 a 4 a2 − 1 − 2 a 1
Le cas a = 1 2.
> a:=1/2;A:=matrix(4,4,[1,2,4,8,a,1,2,4,0,a,1,2,0,0,a,1]);
:=
a 1 2
:=
A
1 2 4 8
1
2 1 2 4
0 1
2 1 2
0 0 1
2 1
> colspace(A);# l'image de A
rank(A);# le rang ou la dimension de l'image
{[0 0 1 0, , , ], , }
, , , 1 1
2 0 0 [0 0 0 1, , , ] 3
> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));
{[0 0 -2 1, , , ]} 1
> a:=1;A:=matrix(4,4,[1,2,4,8,a,1,2,4,0,a,1,2,0,0,a,1]);
multiply(multiply(multiply(A,A),A),A);
unassign('a');A:=matrix(4,4,[1,2,4,8,a,1,2,4,0,a,1,2,0,0,a,1]);
simplify(evalm(A^4-4*A^3+(-6*a+6)*A^2+(-4+12*a-8*a^2)*A));
:=
a 1
:=
A
1 2 4 8
1 1 2 4
0 1 1 2
0 0 1 1
45 136 320 512 28 85 200 320
12 36 85 136
4 12 28 45
:=
A
1 2 4 8
a 1 2 4
0 a 1 2
0 0 a 1
, , ,
− + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3 0 0 0
, , ,
0 − + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3 0 0
, , ,
0 0 − + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3 0 , , ,
0 0 0 − + − 1 6 a 12 a2 + 8 a3
1) Trouver un entier naturel n tel que n2 + + n 1 ait la somme de ses chiffres égale à 30.
2) Combien existe-t-il d'entiers naturels n entre 100 et 999 tels que n2 + + n 1 ait la somme de ses chiffres égale à 30 ?
> sochiffres:=proc(n) local N,s;
N:=n: s:=0: while N<>0 do s:=s+irem(N,10); N:=iquo(N,10) od;
RETURN(s);
end;
sochiffres := proc( )n localN s, ;
:=
N n;
:=
s 0;
whileN ≠ 0dos := s + irem(N 10, );N := iquo(N 10, )end do; ( )
RETURN s end proc
> sochiffres(172^2+172+1);
n:=0:
while sochiffres(n^2+n+1)<>30 do n:=n+1
od:
n;
sochiffres(2^n);
30 172 259
> l:=NULL;
for n from 100 to 999 do
if sochiffres(n^2+n+1)=30 then l:=l,n fi od:
l;
nops([l]);
:=
l
172 223 238 244 256 262 280 292 307 313 331 343 409 421 427 433 442 445 478, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 487 508 517 532 535 544 556 565 580 586 607 613 619 622 646 652 655 661 667, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 670 676 682 685 691 697 703 706 712 727 739 745 751 754 757 760 763 766 790, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 793 805 808 811 817 823 829 832 835 847 853 856 859 862 865 868 871 874 880, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 883 907 913 919 925 934 940 943 952 955 958 961 967 970 973 976 979 982 988, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 991 994 997, ,
98
> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)
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