1 cos sin :

Etude des points stationnaires de la courbe paramétrée :

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 cos sin :

sin cos

x t t t

t t

y t t t

γ γ ^{= +}

6 =

Analyse

Il s’agit d’une courbe paramétrée définie en coordonnées cartésiennes.

Dans ce qui suit, nous désignerons par Γ la courbe représentative du graphe de γ.

On a facilement la condition donnant ^{x t'}

( )

^{= y t'}

( )

⁼⁰. Pour déterminer la nature des points ainsi obtenus, on cherche classiquement le vecteur tangent et le premier vecteur dérivé indépendant du vecteur tangent.

Résolution

On a :

( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2

2 2

2

' 2 sin cos sin 1 cos cos

cos 2 sin 1 cos cos 2 2 cos 1 cos cos 3cos 1

x t t t t t t

t t t

t t t

t t

= − × + + ×

= − + +

= − + + +

= −

et :

( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2

2 2

2

' 2 sin cos cos sin sin

sin 2 cos sin sin 2 cos 1 cos sin 3cos 1

y t t t t t t

t t t

t t t

t t

= × + × −

= −

= − +

= −

On résout alors :

( ) ( )

' 0

' 0

x t y t

⎧⎪ =

⎨ =

⎪⎩

On a :

( ) ( )

( )

( )

2

2 2

2

cos 3cos 1 0

' 0 1

3cos 1 0 cos

' 0 sin 3cos 1 0 3

t t

x t

t t

y t t t

⎧ − =

⎧⎪ = ⇔⎪ ⇔ − = ⇔ =

⎨ = ⎨ − =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

Combien de points stationnaires obtient-on ainsi ?

Les fonctions x et y sont 2π−périodiques. On peut limiter l’étude de l’arc à l’intervalle

[

^{−π π;}

]

^.

Ensuite, en tenant compte du fait que les fonctions sinus et cosinus sont respectivement impaire et paire, on a facilement, pour tout t réel :

( ) ( )

( ) ( )

x t x t

y t y t

− = −

⎧⎪⎨ − =

⎪⎩

On peut donc limiter l’étude de l’arc à l’intervalle

[

^{0 ;π}

]

(on obtiendra la branche de l’arc correspondant aux variations de t dans l’intervalle

[

^{−π; 0}

]

en effectuant une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées).

Pour tout réel t, on a par ailleurs : ^sin

(

^{π− =t}

)

^{sint et cos}

(

^{π − = −t}

)

^cost. Il vient alors :

( ) ( )

( ) ( )

x t x t

y t y t

π π

⎧⎪ − =

⎨ − = −

⎪⎩

On peut donc limiter l’étude de l’arc à l’intervalle 0 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ (on obtiendra la branche de l’arc correspondant aux variations de t dans l’intervalle ;

π π2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ en effectuant une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses).

Dans l’intervalle 0 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, on a : ² 1 1 2

cos cos sin

3 3 3

t= ⇔ t= ⇔ t= et cette équation n’admet qu’une solution que nous notons t₀. Comme ₀ 1 _{0 0}

cos cos 0 et sin 0

t = 3⇒ t ≠ t ≠ , le

point stationnaire ainsi obtenu n’appartient pas aux axes de coordonnées. On en déduit, par symétrie, que l’arc admet un total de 4 points stationnaires. Puisque l’intégralité de la courbe est obtenue via des symétries axiales, on en déduit également que ces points sont de même nature.

Nature des points stationnaires obtenus ? On a :

( ) ( ) ^{( )}

( )

( )

2

2 2

2

'' sin 3cos 1 cos 6 sin cos

sin 3cos 1 6 cos sin 9 cos 1

x t t t t t t

t t t

t t

= − − + −

= − − +

= − −

et :

( ) ( ) ^{( )}

( )

( )

( )

2

2 2

2 2

2

'' cos 3cos 1 sin 6 sin cos cos 3cos 1 6 sin

cos 3cos 1 6 6 cos cos 9 cos 7

y t t t t t t

t t t

t t t

t t

= − + −

= − −

= − − +

= −

D’où :

( ) ( )

( ) ( )

2

0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0

'' sin 9 cos 1 sin 9 1 1 2 sin

3

'' cos 9 cos 7 cos 9 1 7 4 cos

3

x t t t t t

y t t t t t

⎧ = − × − = − × × − = −⎛⎜ ⎞⎟

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ = × − = × × −⎜ ⎟= −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

On a donc ² 2

(

0 0

)

OM 2sin ; 4 cos 0

d t t

dt − − ≠

JJJJG

G. Il s’agit du premier vecteur dérivé non nul.

Puisqu’il correspond à un ordre de dérivation pair, les points stationnaires obtenus sont des points de rebroussement.

On a alors :

( ) ( )

( ) ^{( )}

( )

( )

( )

2

2

2 2

2 2

2

''' sin 9 cos 1

cos 9 cos 1 sin 18sin cos cos 9 cos 1 18sin

cos 9 cos 1 18 18 cos cos 27 cos 19

x t t t

t t t t t

t t t

t t t

t t

= − −

= − − − −

= − − −

= − − − +

= − −

et :

( ) ( )

( ) ^{( )}

( )

( )

2

2

2 2

2

''' cos 9 cos 7

sin 9 cos 7 cos 18sin cos sin 9 cos 7 18 cos

sin 27 cos 7

y t t t

t t t t t

t t t

t t

= −

= − − + −

= − − +

= − −

D’où :

( ) ( )

( ) ( )

2

0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0

''' cos 27 cos 19 cos 27 1 19 10 cos

3

''' sin 27 cos 7 sin 27 1 7 2 sin

3

x t t t t t

y t t t t t

⎧ = − − = − ×⎛⎜ × − ⎞⎟=

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ = − − = − ×⎜ × − ⎟= −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

On a donc ³ 3

(

0 0

)

OM 10 cos ; 2sin 0

d t t

dt − ≠

JJJJG

G

. Il s’agit du deuxième vecteur dérivé non nul.

On a :

2 3

0 0 2 2 2

0 0 0

2 3

0 0

2 sin 10 cos

OM OM

det ; 4 sin 40 cos 4 36 cos 4 12 16

4 cos 2 sin

t t

d d

t t t

t t

dt dt

⎛ ⎞ −

= = + = + = + =

⎜ ⎟ − −

⎝ ⎠

JJJJG JJJJG

Les vecteurs

2 2

OM d

dt JJJJG

et

3 3

OM d

dt JJJJG

étant non colinéaires et

3 3

OM d

dt JJJJG

correspondant à un ordre de dérivation impair, on en déduit finalement que les points de rebroussement sont des points de rebroussement de première espèce.

Coordonnées des points rebroussement

On a : ₀ 1

cos 3

t = et ₀ 2

sint = 3. D’où :

( )

0

(

² 0

)

0

1 2 4 2 4 2

1 cos sin 1

3 3 3 3 3 3

x t = + t t = +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠× = × =

( )

0 ² 0 0

2 1 2

sin cos

3 3 3 3

y t = t t = × =

On a donc le point 4 2 2

A ;

3 3 3 3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠. Par symétrie, on obtient les points 4 2 2

B ;

3 3 3 3

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠,

4 2 2

C ;

3 3 3 3

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 4 2 2

D ;

3 3 3 3

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Résultat final

La courbe paramétrée γ définie par :

( ) ( ) ( )

( )

2

2

1 cos sin :

sin cos

x t t t

t t

y t t t

γ γ ^{= +}

6 = admet quatre points

de rebroussement de première espèce.

Complément

En guise de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de Γ.

x

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

A

B C

D

x(t) = ( 1 +cos²(t) )sin(t) y(t) =sin²(t)cos(t)