Dans ce cas, on note cette limiteγ0(t)qui est un vecteur deRnappel´e vecteur tangent `a la courbe au tempst

F. BALACHEFF

1. VISION GEOM´ ETRIQUE DU CALCUL DIFF´ ERENTIEL´

Soitp, ndeux entiers non nuls. Dans la suite,I d´esigne un intervalle ouvert deRetU un ouvert deR^p. 1.1. La notion de diff´erentiabilit´e. Nous introduisons la notion de diff´erentiablit´e en g´en´eralisant la notion de d´erivabilit´e des fonctionsγ :I ⊂R→Rⁿaux fonctionsf :U ⊂R^p →Rⁿ.

Rappelons tout d’abord la notion de d´erivabilit´e et son interpr´etation g´eom´etrique. Une fonctionγ :I → Rⁿs’appelle une courbe (param´etr´ee) deRⁿ.

Definition 1.1. Une courbeγ :I →Rⁿest dite d´erivable ent∈Isi la limite

h→0lim

γ(t+h)−γ(t) h

existe. Dans ce cas, on note cette limiteγ⁰(t)qui est un vecteur deRⁿappel´e vecteur tangent `a la courbe au tempst.

La courbeγest d´erivable entsi

γ(t+h)−γ(t)

h =γ⁰(t) +o(1) c’est-`a-dire

(1.1) γ(t+h) =γ(t) +γ⁰(t)h+o(h).

Observons en particulier que la d´erivabilit´e entimplique la continuit´e ent.

FIGURE1. Interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee.

1

Autrement dit,infinit´esimalement au voisinage deγ(t), la courbeγ est model´ee sur l’application lin´eaire h7→γ⁰(t)·hdont l’image est une droite siγ⁰(t)6= 0. Une autre mani`ere de le formuler est la suivante : si on zoome `a l’infini sur le pointγ(t), la figure limite que l’on observe est une droite deRⁿde vecteur directeur γ⁰(t), voir la figure 1.

La d´erivabilit´e en un point est donc une condition forte. Mais on imagine bien que pour avoir des propri´et´es raisonnables, il faut imposer que, d’une part, ce mod`ele infinit´esimal soit v´erif´e en tout point et que, d’autre part, ces mod`eles infinit´esimaux varient de mani`ere continue d’un point `a un autre (voir figure 2).

Definition 1.2. La courbeγ est dite de classeC¹ surI si elle est d´erivable surI (cad en tout point de l’intervalleI) et l’application vecteur tangentt∈I 7→γ⁰(t)∈Rⁿvarie de mani`ere continue surI.

FIGURE2. Interpr´etation g´eom´etrique de la notionC¹.

Remarquons qu’une courbeC¹ne subit ainsi ni d´echirure, ni pincement, ni d’oscillation condens´ee.

Ce point de vue est g´en´eralisable au cas d’une fonction de plusieurs variables et d´ebouche sur la notion de diff´erentiabilit´e.

Definition 1.3. Une fonctionf :U ⊂ R^p → Rⁿ est diff´erentiable enx ∈ U si il existe une application lin´eairedfx ∈ L(R^p,Rⁿ)telle que

f(x+h) =f(x) +dfx(h) +o(khk) pour touth∈R^ptel quex+h∈U.

La fonction est dite diff´erentiable surU si elle l’est en tout point deU. Ici,k · kd´esigne la norme euclidienne usuelle deR^p:

khk= v u u t

p

X

i=1

h²_i,

mais les normes surR^p ´etant toutes ´equivalentes, ce choix n’est pas significatif. Par ailleurs, la notation o(khk^k)aveck∈Nd´esigne une fonction `a valeurs dansRⁿdont la norme puisse s’´ecrire

ko(khk^k)k=khk^k·ε(h) o`uε(h)→0lorsqueh→0.

Cette formule g´en´eralise bien la notion de d´erivabilit´e en comparant avec l’´equation (1.1).

On remarque `a nouveau que la diff´erentiabilit´e enximplique la continuit´e en ce point. Les deux r`egles classiques de diff´erentiation suivantes d´ecoulent de la d´efinition :

— d(f+λg)x=dfx+λdgx,

— d(f◦g)_x=df_g(x)◦dg_x.

Autrement dit,infinit´esimalement au voisinage def(x), l’applicationf est model´ee sur une application lin´eaire que l’on notedfx. Mais au fait, `a quoi ressemble une application lin´eaire ?

Proposition 1.1. SoitLune application lin´eaire deR^pdansRⁿ. Alors il existe une baseBdeR^petB⁰de Rⁿtelle que

mat_B,B⁰(L) =

I_r 0 0 0

o`ur ≤min{p, n}est le rang deL.

D´emonstration. En effet, nous pouvons commencer par choisir une base(f(e₁), . . . , f(e_r))de l’image def. Ainsi la famille(e1, . . . , er)deR^pest automatiquement libre. Cette famille libre se compl`ete en une base (e<sub>1</sub>, . . . , e<sub>r</sub>, e<sub>r+1</sub>, . . . , e<sub>p</sub>)deR<sup>p</sup>. Cette base peut ensuite ˆetre modifi´ee de la mani`ere suivante. Pour chaque

i=r+ 1, . . . , p, il existe des uniques coefficientsλi,1, . . . , λi,r∈Rtels quef(ei) =Pr

k=1λi,kf(ek)et on pose alors

e⁰_i =e_i−

r

X

k=1

λ_i,ke_k.

Chaquee⁰_i ∈kerL, et la familleB = (e1, . . . , er, e⁰_r+1, . . . , e⁰_p)est encore une base. On compl`ete alors la

famille(f(e₁), . . . , f(e_r))en une baseB⁰ deRⁿ.

FIGURE3. Exemples d’applications lin´eaires.

A un changement de coordonn´ees pr`es dans l’espace de d´epart et d’arriv´ee,L est donc donn´ee par l’application

(x₁, . . . , x_p)7→(x₁, . . . , x_r,0, . . . ,0).

Observons que cela revient `a inclure et contracter des sous-espaces affines les uns dans les autres, voir figure 3.

Si maintenant ce mod`ele infinit´esimal est satisfait en chaque point du domaine def et varie de mani`ere raisonnable (i.e. continue), la fonction f sera dite de classeC¹ et aura de bonnes propri´et´es globales . L’application ne subira alors ni d´echirure, ni pincement ou autre catastrophe, mais certaines compressions sont possibles et elles correspondront `a la situation o`u le mod`ele lin´eaire infinit´esimale contracte certains sous-espaces. Mais avant d’expliquer plus pr´ecis´ement la notion de classe C¹ dans le cas de plusieurs variables, expliquons une implication g´eom´etrique de la notion de diff´erentiabilit´e.

Observation 1.1. Sif est diff´erentiable enx, alors pour touth6= 0∈R^p, l’image de la droites7→x+s·h deR^ppassant parxet de vecteur tangenthen0est une courbes∈R7→f(x+s·h)deRⁿpassant par f(x)et d´erivable en0de vecteur tangentdfx(h).

Voici un sch´ema de la situation.

D´emonstration. C’est ´equivalent de montrer que dfx(h) = lim

s→0

f(x+s·h)−f(x) s

o`us∈R.

En effet, d’apr`es la d´efinition de diff´erentiabilit´e

s→0lim

f(x+s·h)−f(x)−dfx(s·h) s·h

= lim

s→0

o(ks·hk) ks·hk = 0.

Donc

s→0lim

f(x+s·h)−f(x)

s −df_x(h)

· 1 khk = 0

ce qui permet de conclure commeh6= 0.

Lorsqu’elle existe, la quantit´e

s→0lim

f(x+s·h)−f(x) s

s’appelle la d´eriv´ee de Gˆateaux defenxdans la directionhet sera not´eef⁰(x, h).

Attention !L’existence en toute direction hau pointxd’une d´eriv´ee de Gˆateaux def n’implique pas la diff´erentiabilit´e def. On peut montrer que,

Proposition 1.2. Sif⁰(x, h)est d´efinie, pour toutλ∈R, on a f⁰(x, λh) =λf⁰(x, h).

Mais on peut avoir quef⁰(x, h1+h2) 6= f⁰(x, h1) +f⁰(x, h2). Par exemple, sif : R² → Rd´esigne l’application d´efinie pour(x₁, x₂)6= (0,0)par

f(x₁, x₂) = x³₁ x²₁+x²₂

et prolong´ee par0en(0,0), alors l’applicationh7→f⁰(0, h)n’est pas lin´eaire (voir exercice).

Plus g´en´eralement, on peut montrer l’implication g´eom´etrique suivante :

Proposition 1.3. Sif est une application diff´erentiable enx, pour toute courbeγ :]−ε, ε[→ U ⊂ R^p d´erivable en0telle queγ(0) =xetγ⁰(0) =h, la courbes∈R7→ f◦γ(s)deRⁿpassant parf(x)est d´erivable en0de vecteur tangentdfx(h):

d ds

0

f(γ(s)) =df_x(h).

Voici un sch´ema de la situation.

Tout comme pour les fonctions d’une variable r´eelle, la notion de diff´erentiabilit´e n’a d’int´erˆet que si le mod`ele infinit´esimal se comporte convenablement lorsque l’on modifie le pointxdansU.

Definition 1.4. f :U ⊂R^p →Rⁿest dite (de classe)C¹surUsi elle est diff´erentiable surUet l’application diff´erentielle

df :x∈U 7→dfx∈ L(R^p,Rⁿ)'R^pn est continue.

L’application diff´erentielle, en tant qu’application lin´eaire, peut ˆetre repr´esent´ee dans les bases canoniques deR^p etRⁿpar une matrice de taillen×p`a coefficients r´eels appel´ee matrice jacobienne

J ac_x(f) =M at_{(e1,...,ep),(e}⁰

1,...,e⁰_n)(df_x) = (df_x(e_j))|e⁰_i)_ij,

(e₁, . . . , e_p) et (e⁰₁, . . . , e⁰_n) d´esignant les bases canoniques respectives de R^p et Rⁿ, et(· | ·) le produit scalaire euclidien. L’application diff´erentielle est alors continue si et seulement si les coefficients de la matrice jacobienne le sont.

Observer que si on note f = (f₁, . . . , f_n) alors (df_x(e_j)) | e⁰_i) = d(f_i)_x(e_j) quantit´e que l’on note usuellement

∂fi

∂xj

(x).

Autrement dit, sif estC¹ surU, alors les d´eriv´ees partielles def x7→dfx(ej) = ∂f

∂xj

(x) = ∂f1

∂xj

(x), . . . ,∂fn

∂xj

(x)

existent et sont continues. De mani`ere ´etonnante, cette condition n´ecessaire sur les d´eriv´ees partielles est suffisante. Noter que l’on a alors

dfx(h) =

p

X

j=1

∂f

∂x_j(x)·hj.

Attention ! Il est important ici de rappeler la signification g´eom´etrique des d´eriv´ees partielles de f : il s’agit juste des vecteurs tangents au temps0des courbes images parf des droites d´efinissant le syst`eme de coordonn´ees local enx(voir figure 4). Les d´eriv´ees partielles peuvent donc exister ind´ependamment de la diff´erentiabilit´e de la fonction en question puisqu’il s’agit en d’autres termes des d´eriv´ees de Gˆateaux enx selon les vecteurse1, . . . , ep.

Th´eor`eme 1.1. f estC¹ si et seulement si les d´eriv´ees partielles def x7→ ∂f

∂xj

(x) existent et sont continues.

FIGURE4. Applicationf :U ⊂R² →R³de classeC¹et de rang2.

D´emonstration. Supposons que les d´eriv´ees partielles def existent et soient continues. Il suffit de montrer quefest alors diff´erentiable surU. La matrice jacobienne ´etant d´efinie enx, le candidat naturel pour ˆetre la diff´erentielle def est l’application

h∈R^p 7→J ac_x(f)·h=

p

X

j=1

∂f

∂x_j(x)·h_j. On a pour touth∈R^p tel quex+h∈U

f(x+h)−f(x)−

p

X

j=1

∂f

∂xj

(x)·hj =

f(x₁+h₁, . . . , xp−1+hp−1, x_p+h_p)−f(x₁+h₁, . . . , xp−1+hp−1, x_p)−∂f

∂x_p(x₁+h₁, . . . , xp−1+hp−1, x_p)·h_p +∂f

∂x_p(x1+h1, . . . , xp−1+hp−1, xp)·hp− ∂f

∂x_p(x1, . . . , xp−1, xp)·hp

+f(x1+h1, . . . , xp−1+hp−1, xp)−f(x1, . . . , xp−1, xp)−

p−1

X

j=1

∂f

∂xj

(x)·hj

La premi`ere partie et la derni`ere partie sont respectivement un o(kh_pk) (cas de dimension 1) et un o(k(h₁, . . . , hp−1)k)(par induction), et donc a fortiori leur somme est uno(khk). La seconde partie s’´ecrit

(∂f

∂xp

(x1+h1, . . . , xp−1+hp−1, xp)− ∂f

∂xp

(x1, . . . , xp−1, xp))·hp=ε(h)·hp=o(khk)

les d´eriv´ees partielles ´etant continues.

Notions de diff´erentiabilit´e d’ordre sup´erieur.Nous pouvons identifierL(R^p,Rⁿ) 'R^pn, et interpr´eter ainsi la diff´erentielle comme une application deR^p dansR^pnpour laquelle nous disposons de la notion de classeC¹. Ainsifest dite de classeC²si sa diff´erentielledfest de classeC¹. On introduit alors de mani`ere in- ductive la notion de classeC^kpour tout entierket on dit quefest de classeC^∞sifestC^kpour tout entierk.

1.2. Comportements locaux d´etermin´es par une propri´et´e ponctuelle. Nous allons voir que certaines propri´et´es locales d’une fonction de classeC¹sont compl`etement d´etermin´ees par sa diff´erentielle en un point.

La philosophie est la suivante : ´etant donn´ee une application de classeC¹, si sa diff´erentielle en un point v´erifie une propri´et´e qui est stable par perturbation dans l’espace des applications lin´eaires, alors l’application elle-mˆeme v´erifie cette propri´et´e au voisinage de ce point.

1.2.1. Th´eor`eme des accroissements finis. Commenc¸ons par un premier exemple.

Th´eor`eme 1.2. (des accroissements finis) SoitU ⊂R^pun ouvert convexe. Supposons quef :U ⊂R^p →Rⁿ soit une applicationC¹telle qu’il existek >0satisfaisant

kdf_xk< k pour toutx∈U. Alors

kf(y)−f(x)k< kky−xk pour tousx, y∈U.

Rappelons ici que la norme classique d’une application lin´eaire est d´efinie par kLk= max{kL(h)k | khk= 1}.

C’est donc la norme du plus grand vecteur dans l’image de la sph`ere unit´e. Par d´efinition pour touth∈R^p nous avons

kL(h)k ≤ kLk · khk.

Ce r´esultat entre bien dans le cadre de notre philosophie, la propri´et´ekLk< k ´etant localement stable pour les applications lin´eaires : sif est de classeC¹ et v´erifie kdf_x0k < k en un pointx0 (c’est-`a-dire kdf_x0(y)−dfx0(x)k< kky−xkpour toutx, y∈R^p), alors cela reste vrai dans un certain voisinage dex0

et par le TAFkf(y)−f(x)k< kky−xkpour toutx, ydans ce voisinage dex₀. D´emonstration. On se fixex, y∈U et on consid`ere la courbe

γ : [0,1] → Rⁿ

t 7→ f(x+t(y−x))

qui est bien d´efinie commex+t(y−x)appartient `aU pour toutt∈[0,1]par convexit´e. Cette courbe est de classeC¹comme composition de deux applicationsC¹, et on voit que

kγ⁰(t)k=kdf_x+t(y−x)(y−x)k< kky−xk.

Maintenant,

kf(y)−f(x)k=kγ(1)−γ(0)k=k Z 1

0

γ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kγ⁰(t)kdt < kky−xk

en utilisant l’in´egalit´e de Jensen appliqu´ee `a la fonction convexeh7→ khk.

Remarque 1.1. Nous avons ici invoqu´e l’in´egalit´e k

Z 1 0

u(t)dtk ≤ Z 1

0

ku(t)kdt,

pour toute fonctionu: [0,1]→Rⁿ. Nous allons donc la d´emontrer. Tout d’abord, il faut remarquer que la norme peut ˆetre d´efinie comme le maximum de certaines formes lin´eaires :

kxk= max

kak=1a₁x₁+. . .+a_nx_n. En effet, pour touta∈Rⁿtel quekak= 1, nous avons

a1x1+. . .+anxn=ha, xi ≤ kakkxk=kxk par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz avec ´egalit´e poura=x/kxk.

Ensuite, on utilise la lin´earit´e de l’int´egrale k

Z 1 0

u(t)dtk = max

kak=1(a₁ Z 1

0

u₁(t)dt+. . .+a_n Z 1

0

u_n(t)dt)

= max

kak=1

Z 1 0

(a₁u₁(t) +. . .+a_nu_n(t))dt

≤ Z 1

0

kak=1max(a₁u₁(t) +. . .+a_nu_n(t))dt

≤ Z ₁

0

ku(t)kdt.

En fait, cette preuve marche pour toute fonction convexeϕcar celles-ci peuvent toujours ˆetre d´ecrites comme le maximum de certaines fonctions affines (penser au cas de dimension1pour se faire une id´ee). C’est ce qu’on appelle l’in´egalit´e de Jensen.

1.2.2. Th´eor`eme d’inversion locale. Un second exemple de propri´et´e des applications lin´eaires stable par perturbation est l’inversibilit´e.

Proposition 1.4. SiL0 ∈ L(Rⁿ,Rⁿ)est inversible, alors il existe un voisinage ouvert deL0dansL(Rⁿ,Rⁿ) form´e exclusivement d’applications lin´eaires inversibles.

D´emonstration. La topologie surL(Rⁿ,Rⁿ)est induite par l’identificationL(Rⁿ,Rⁿ)'Rⁿ

2 correspondant

`a la repr´esentation matricielle dans la base canonique deRⁿ. Ainsi, nous voyons que l’application L∈ L(Rⁿ,Rⁿ)7→detcan(L)

est continue car le d´eterminant est une fonction polynˆomiale des coefficients de la matrice. Commedet(L₀)6=

0, on en d´eduit qu’il existeε > 0tel que l’intervalle] det_can(L₀)−ε,det_can(L₀) +ε[ne contienne pas 0. L’image r´eciproque de cet intervalle par l’applicationdetcan est donc un ouvert deL(Rⁿ,Rⁿ)form´e

exclusivement d’´el´ements inversibles.

En particulier, si{L_t}_t∈[0,1]une d´eformation par des ´el´ements deL(Rⁿ,Rⁿ)d’une applicationL0inver- sible alors, pourtsuffisamment petit, l’application lin´eaireL_test aussi inversible.

Dire que{L_t}est une d´eformation deL0 signifie que l’application t∈[0,1]7→Lt∈ L(Rⁿ,Rⁿ)

est continue. Autrement dit, les coefficients des matricesL_tdans une base fix´ee d´ependent continˆument du param`etret.

Nous en d´eduisons que si la diff´erentielle d’une applicationf de classeC¹ est inversible en un point x, pourysuffisamment proche dexla diff´erentielledfy sera elle-aussi inversible. Ceci va impliquer que l’applicationf est localement inversible.

Avant d’´enoncer plus soigneusement ce r´esultat, nous avons besoin d’introduire la notion de diff´eomorphisme.

Definition 1.5. Une applicationf :U ⊂Rⁿ → V ⊂ Rⁿest un diff´eomorphisme deU surV sif est de classeC¹, r´ealise une bijection deU surV, et son inversef⁻¹:V →U est aussi de classeC¹.

FIGURE5. Repr´esentation locale d’unC¹-diff´eomorphisme pourn= 2.

Un diff´eomorphisme est donc tout simplement un ´el´ement inversible pour la loi de composition dans l’espace des applications de classeC¹ :f estC¹,f⁻¹estC¹ etf⁻¹◦f =id_U.

Il est facile d’observer que sif est un diff´eomorphisme, alors en tout pointx∈U sa diff´erentielledfxest inversible et l’on a

df_f⁻¹_(x)= (dfx)⁻¹.

C’est une cons´equence de la r`egle de diff´erentiation d(f ◦g)x = df<sub>g(x)</sub>◦ dgx appliqu´ee `a la relation f⁻¹◦f =id_U.

R´eciproquement, d’apr`es notre philosophie expliqu´ee plus haut, si la diff´erentielle d’une application de classeC¹est inversible en un point, alors l’application elle-mˆeme est inversible au niveau local.

Th´eor`eme 1.3. (d’inversion locale) Soitf :U ⊂Rⁿ→Rⁿune application de classeC¹etx₀ ∈U telle quedfx0 soit inversible. Alors il existe un voisinage ouvertU0dex0et un voisinage ouvertV0def(x0)tels quef soit un diff´eomorphisme deU₀surV₀.

D´emonstration. On proc`ede par ´etapes.

R´eduction du probl`eme.Quitte `a remplacerf par

x7→df_x⁻¹₀ (f(x0+x)−f(x0)), nous pouvons supposer quex₀= 0,f(0) = 0etdf₀ =id_Rⁿ.

Construction de l’application r´eciproquef⁻¹.Nous allons utiliser pour cela le th´eor`eme du point fixe que voici.

Th´eor`eme 1.4. (du point fixe) SoitF un ferm´e non vide deRⁿetT :F →F une application contractante : il existe0≤k <1tel que pour toutx, y∈F on ait

kT(x)−T(y)k ≤k· kx−yk.

Alors il existe un unique pointx0∈F tel queT(x0) =x0.

Etant donn´eyproche de0, r´esoudre l’´equationy=f(x)revient `a trouver un point fixe de l’application h(x) =y+x−f(x).

Etudions tout d’abord les propri´et´es de l’application

g:x∈U 7→x−f(x).

Cette application estC¹et v´erifieg(0) = 0ainsi quedg0 = 0. Par continuit´e de l’application diff´erentielle, il exister >0suffisamment petit tel que pour toutx∈B(0,2r)⊂U on ait

kdg_xk< 1 2.

Le th´eor`eme des accroissements finis nous donne alors que pour toutx, x⁰ ∈B(0,2r)nous avons kg(x)−g(x⁰)k< 1

2kx−x⁰k.

En particulier,kg(x)k < ¹₂kxken choisissantx⁰ = 0et doncg(B(0,2r)) ⊂B(0, r)ce qui implique par continuit´e queg(B(0,2r))⊂B(0, r).

Nous en d´eduisons facilement que pour touty∈B(0, r) h(B(0,2r))⊂B(0,2r),

commekh(x)k ≤ kyk+kg(x)k. Or, par ailleurs, pour tousx, x⁰∈B(0,2r)nous avons kh(x)−h(x⁰)k=kg(x)−g(x⁰)k< 1

2kx−x⁰k,

formule qui reste vraie par continuit´e pourx, x⁰ ∈B(0,2r)en remplac¸ant l’in´egalit´e stricte par une in´egalit´e large.

Ainsi l’application

h:B(0,2r)→B(0,2r)

est bien contractante et nous pouvons lui appliquer le th´eor`eme du point fixe : il existe un unique point x∈B(0,2r)tel que

h(x) =x⇔y=f(x).

Par construction, ce pointxappartient `a la boule ouverteB(0,2r)comme kxk=kh(x)k ≤ kyk+kg(x)k<2r.

Par cons´equent, la restriction

f :B(0,2r)∩f⁻¹(B(0, r))

| {z }

:=U0

→B(0, r)

| {z }

:=V0

est une bijection dont on noteraf⁻¹ l’application r´eciproque. Noter queU₀est bien un voisinage ouvert de0 L’applicationf⁻¹ est lipschitzienne.Soientx, x⁰ ∈ U₀ ety, y⁰ ∈ V₀ tels que y = f(x)ety⁰ = f(x⁰).

Alors

kf⁻¹(y)−f⁻¹(y⁰)k=kx−x⁰k=ky+g(x)−y⁰−g(x⁰)k ≤ ky−y⁰k+1

2kx−x⁰k d’o`u

kf⁻¹(y)−f⁻¹(y⁰)k=kx−x⁰k ≤2ky−y⁰k.

L’applicationf⁻¹est de classeC¹.L’applicationdf0est inversible, donc quitte `a diminuerr, nous pouvons supposer quedf_xl’est ´egalement pour toutx∈U₀. Nous commenc¸ons par prouver que(df_x)⁻¹est bien la diff´erentielle def⁻¹ enx.

Commek(df₀)⁻¹k=kid_Rnk= 1, on peut supposer que k(df_x)⁻¹k ≤2 pourx∈B(0,2r)quitte `a diminuerr `a nouveau.

Fixons donc y ∈ B(0, r). Pour k ∈ Rⁿtel que y+k ∈ B(0, r), on note x = f⁻¹(y) puis on pose h=f⁻¹(y+k)−f⁻¹(y). Ainsix+h=f⁻¹(y+k)et on calcule alors

kf⁻¹(y+k)−f⁻¹(y)−(df_x)⁻¹(k)k = kx+h−x−(df_x)⁻¹(f(x+h)−f(x))k

= k(df_x)⁻¹(df_x(h)−f(x+h) +f(x))k

≤ k(df_x)⁻¹k · kdf_x(h)−f(x+h) +f(x)k

≤ 2· kdf_x(h)−f(x+h) +f(x)k=o(khk).

Orkhk=kf⁻¹(y+k)−f⁻¹(y)k ≤2kkkcommef⁻¹est2-lipschitzienne, et donc kf⁻¹(y+k)−f⁻¹(y)−(dfx)⁻¹(k)k=o(kkk).

Ainsi, l’applicationf⁻¹est diff´erentiable eny=f(x)et

d(f⁻¹)_y = (df_x)⁻¹ = (df_f⁻¹_(y))⁻¹. Maintenant, l’application

u∈Gl(Rⁿ)7→u⁻¹ ∈Gl(Rⁿ) est continue (penser `a la formule de Cramer), et donc la composition

y ^f

−1

7−→f⁻¹(y)7−→^df df_f⁻¹_(y)^(·)

−1

7−→ (df_f⁻¹_(y))⁻¹ =d(f⁻¹)y

est continue.

Nous d´eduisons que l’applicationf⁻¹ est de classeC¹etf est donc bien un diff´eomorphisme deU₀sur

V₀.

On peut d´eduire du th´eor`eme d’inversion local certains corollaires dont les preuves seront trait´ees en exercice.

Corollaire 1.1. (Th´eor`eme d’inversion globale)f est un diff´eomorphisme deU surf(U)si et seulement si f est injective, de classeC¹etdf_xest inversible pour toutx∈U.

Corollaire 1.2. (Th´eor`eme des fonctions implicites) Soitf :U ⊂R^p×Rⁿ→Rⁿune application de classe C¹. Supposons qu’il existe un point(x0, y0)∈U tel que la matrice

(∂f

∂y₁(x0, y0). . . ∂f

∂y_n(x0, y0))

soit inversible. Alors il existe un voisinageU⁰ouvert de(x0, y0)dansUde la formeU⁰=V₁⁰×V₂⁰ ⊂R^p×Rⁿ et une applicationϕ:V₁⁰ →V₂⁰de classeC¹ telle que

(x, y)∈U⁰avecf(x, y) =f(x0, y0)⇔y=ϕ(x).

FIGURE6. Th´eor`eme des fonctions implicites.

1.2.3. Redressement des immersions et des submersions. Voici enfin deux derniers exemples de propri´et´e d’une application lin´eaire stable par perturbation : l’injectivit´e et la surjectivit´e.

Proposition 1.5. Soit{L_t}_t∈[0,1] une d´eformation par des ´el´ements deL(R^p,Rⁿ) d’une application L₀ injective (respectivement surjective). Alors, pourtsuffisamment petit, l’application lin´eaire L_test aussi injective (respectivement surjective).

Nous laissons cette proposition comme exercice. Remarquer que siL₀est injective, alors n´ecessairement p≤n, et siL0est surjective, nous avonsp≥n.

Nous introduisons les notions suivantes.

Definition 1.6. Soitf :U ⊂R^p→Rⁿune application de classeC¹. On dit quef est une immersion (resp.

submersion) enxsi sa diff´erentielledf_xest injective (resp. surjective).

Les deux r´esultats suivants rentrent dans le cadre de notre philosophie, et d´ecrivent aussi compl`etement les immersions et submersions du point de vue local `a changement de coordonn´ees pr`es.

Th´eor`eme 1.5. Soitf :U ⊂R^p →Rⁿune application de classeC¹, qui soit une immersion enx∈U. Alors il existe des voisinages ouvertsU⁰dexetV⁰def(x)satisfaisantf(U⁰)⊂V⁰, ainsi qu’un diff´eomorphisme ϕ:V⁰→ϕ(V⁰)tel que

ϕ◦f(x⁰₁, . . . , x⁰_p) = (x⁰₁, . . . , x⁰_p,0, . . . ,0) pour toutx⁰ = (x⁰₁, . . . , x⁰_p)∈U⁰.

FIGURE7. Redressement d’une immersion.

Ce r´esultat nous dit qu’une immersion peut ˆetre redress´ee (en modifiant l’espace d’arriv´ee par un diff´eomorphisme) en l’application lin´eaire injective canonique correspondante. Une courbe immerg´ee avec un point double fait comprendre que l’injectivit´e de l’application peut n’ˆetre que locale.

D´emonstration. Commedfxest injective, nous avons quep≤n. Notons pouri= 1. . . ppar vi=dfx(ei)∈Rⁿ

la i`eme d´eriv´ee partielle def. L’injectivit´e dedfximplique alors que cette famille est libre, et par le th´eor`eme de la base incompl`ete, nous pouvons chosirn−pvecteursv_p+1, . . . , v_ntels que(v₁, . . . , v_n)soit une base deRⁿ. Nous d´efinissons alorsψ:U ×R^n−p⊂Rⁿ→Rⁿen posant

ψ(x⁰₁, . . . , x⁰_n) =f(x⁰₁, . . . , x⁰_p) +x⁰_p+1vp+1+. . .+x⁰_nvn.

Cette application v´erifieψ(x,0_R^n−p) =f(x). Elle est aussi de classeC¹. Pour cela il suffit d’observer que pour toutx⁰ = (x⁰₁, . . . , x⁰_p, x⁰_p+1, . . . , x⁰_n)∈U ×R^n−p

J acx⁰(ψ) = (J ac_(x⁰

1,...,x⁰_p)(f), vp+1, . . . , vn), matrice qui d´epend continˆument du pointx⁰. On remarque ´egalement queJ ac_(x,0

Rn−p)(ψ) = (v₁, . . . , v_n)et donc quedψxest inversible. Par le th´eor`eme d’inversion local,ψest un diff´eomorphisme d’un voisinage ouvert de(x,0_R^n−p)sur un voisinage ouvertV⁰deψ(x,0_R^n−p) =f(x).

Par construction,

ψ(x⁰₁, . . . , x⁰_p,0, . . . ,0) =f(x⁰₁, . . . , x⁰_p)

et doncψ⁻¹◦f(x⁰₁, . . . , x⁰_p) = (x⁰₁, . . . , x⁰_p,0, . . . ,0). Il suffit alors de poserϕ=ψ⁻¹. Nous d´emontrerons en exercice le r´esultat correspondant pour les submersions qui s’´enonce ainsi.

Th´eor`eme 1.6. Soitf :U ⊂R^p →Rⁿune application de classeC¹, qui soit une submersion enx ∈U. Alors il existe un voisinage ouvertU⁰ ⊂U dex, ainsi qu’un diff´eomorphismeϕ:U⁰ →ϕ(U⁰)tel que

f◦ϕ⁻¹(x⁰₁, . . . , x⁰_p) = (x⁰₁, . . . , x⁰_n) pour toutx⁰ = (x⁰₁, . . . , x⁰_p)∈U⁰.

FIGURE8. Redressement d’une submersion.

2. PREMIERE INCURSION DANS LE MONDE DES` EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES´

2.1. Un peu de vocabulaire. Nous commenc¸ons par d´efinir le terme d’´equation diff´erentielle ordinaire et montrer comment se ramener en toute g´en´eralit´e au cas des ´equations diff´erentielles ordinaires du premier ordre.

Definition 2.1. Soitk∈N^∗. On appelle ´equation diff´erentielle ordinaire d’ordreksurRⁿune ´equation de la forme

d^kx dt^k =f

t, x, . . . ,d^k−1x dt^k−1

o`uf :I×U₀×U₁×. . .×Uk−1 →Rⁿd´esigne une fonction continue,I ´etant un intervalle deRet lesU_i des ouverts deRⁿ.

On appelle alors solution de cette ´equation toute application x : J ⊂ I → Rⁿ satisfaisant l’´egalit´e ci-dessus. Ceci implique quexest de classeC^ket que ^d_dt^ix_i(t)∈U_ipour toutt∈J.

Lorsquef est ind´ependante det, l’´equation diff´erentielle est dite autonome.

Pour un certain nombre de consid´erations (celles les plus g´en´erales, comme par exemple la question de l’existence de solutions), tout se ram`ene au cas d’ordre1et autonome en vertu du r´esultat suivant.

Proposition 2.1. Toute solution d’une ´equation diff´erentielle ordinaire est ´equivalente `a la solution d’une

´equation diff´erentielle ordinaire d’ordre1et autonome qui lui est naturellement associ´ee.

D´emonstration. Six:J ⊂I →Rⁿest une solution de l’´equation d^kx

dt^k =f

t, x, . . . ,d^k−1x dt^k−1

, alors l’application

y:J → R^1+nk t 7→

t, x(t), . . . ,d^k−1x dt^k−1

est de classeC¹et satisfait l’´equation ordinaire d’ordre1et autonome surR^1+nksuivante dy

dt =F(y(t)) avec

F :I×U₀×. . .×U_k−1 → R×Rⁿ×. . .×Rⁿ

(s, u0, . . . , uk−2, uk−1) 7→ (1, u1, . . . , uk−1, f(s, u0, . . . , uk−1)) En effet,

dy

dt = d dt

t, x(t), . . . ,d^k−2x

dt^k−2,d^k−1x dt^k−1

=

1, x⁰(t), . . . ,d^k−1x dt^k−1,d^kx

dt^k

=

1, x⁰(t), . . . ,d^k−1x dt^k−1, f

t, x, . . . ,d^k−1x dt^k−1

=F

t, x(t), . . . ,d^k−2x

dt^k−2,d^k−1x dt^k−1

= F(y(t)).

R´eciproquement, toute solution de cette ´equation ordinaire d’ordre1et autonome fournit une solution de l’´equation diff´erentielle ordinaire initialement consid´er´ee : siy(t) = (s(t), u0(t), . . . , uk−1(t))est une solution de l’´equation ordinaire d’ordre1 et autonome ci-dessus d´efinie sur un intervalleJ⁰ ⊂ R, cela implique que

u⁰_i =ui+1

pour touti= 0, . . . , k−2et que

u⁰_k−1 =f(s, u0, . . . , uk−1) donc on trouve

d^ku₀ dt^k =f

s(t), u₀, . . . ,d^k−1u₀ dt^k−1

.

Nous savons aussi ques⁰(t) = 1et doncs(t) =t+co`uc ∈R. Commey est solution, cela impose que t+c∈Ipour toutt∈J<sup>0</sup>. D’o`u la fonctionx(t) =u0(t−c)est solution de l’´equation diff´erentielle ordinaire

intiale sur l’intervalleJ =J⁰+c⊂I.

2.2. Existence des solutions. Maintenant que nous avons vu comment se ramener `a une ´equation diff´erentielle ordinaire d’ordre1et autonome du type ^dx_dt =f(x), nous allons interpr´eter celle-ci g´eom´etriquement.

Definition 2.2. Un champ de vecteurs sur un ouvertU ⊂Rⁿest la donn´ee d’une applicationf :U →Rⁿ. Pour mieux comprendre la signification g´eom´etrique, on r´ealise le champ de vecteursf en liant le vecteur f(x)au pointx(voir figure 9).

FIGURE9. Exemples de champs de vecteurs deR².

Definition 2.3. On appelle courbe int´egrale du champ de vecteursf une courbeγ :I ⊂R→Rⁿde classe C¹tangente en tout point `af, c’est-`a-dire telle que

γ⁰(t) =f(γ(t)).

Autrement dit, on interpr`ete g´eom´etriquement les solutions de l’´equation diff´erentielle <sup>dx</sup><sub>dt</sub> =f(x)comme les courbes int´egrales du champ de vecteurs d´efini parf. Par exemple, si on consid`ere le champ de vecteurs f(x, y) = (−x, y), par tout point(x0, y0)∈R²passe une unique courbe int´egrale s’´ecrivant

γ_(x0,y0)(t) = (x₀·e^−t, y₀·e^t).

L’ensemble des courbes int´egrales forme un dessin que l’on appelleportrait de phase, voir figure 10.

Nous allons voir maintenant que tout champ de vecteurs suffisamment r´egulier s’int`egre toujours locale- ment.

Th´eor`eme 2.1. (Cauchy-Lipschitz) Soitf :U ⊂Rⁿ→Rⁿune application de classeC¹etx0∈U. a) Alors il existeα >0etγ :]−α, α[→ U de classeC² tels queγ(0) =x₀etγ⁰(t) =f(γ(t))pour tout t∈]−α, α[.

b) De plus, si¯γ :]−α⁰, α⁰[→U d´esigne une autre courbe int´egrale passant parx₀ ent= 0, alorsγet¯γ coincident sur leur intervalle commun de d´efinition.

FIGURE 10. Portrait de phase du champf(x, y) = (−x, y).

D´emonstration. Existence.Nous allons utiliser le th´eor`eme du point fixe de Picard dans la version suivante.

Th´eor`eme 2.2. (du point fixe de Picard) Soit (E, d) un espace m´etrique complet et T : E → E une application contractante : il existe0< k <1tel que pour toutx, y∈Eon ait

d(T(x), T(y))≤k·d(x, y).

Alors il existe un unique pointx0∈Etel queT(x0) =x0. Tout d’abord, il nous faut remarquer que

γ⁰(t) =f(γ(t))et γ(0) =x0 ⇔γ(t) =x0+ Z t

0

f(γ(s))ds.

Etant donn´eα >0, nous d´efinissons donc l’application

T :C⁰(]−α, α[, U) → C⁰(]−α, α[,Rⁿ) γ 7→ (t7→x0+

Z t 0

f(γ(s))ds) dont on cherche un point fixe.

Pour toutα >0etr >0, nous munisson l’espaceC⁰(]−α, α[,B(x¯ 0, r))de la norme infini : kuk_∞= sup

t∈]−α,α[

ku(t)k.

Cet espace m´etrique est complet. Nous allons prouver qu’il exister >0etα >0tels que (1) T(C⁰(]−α, α[,B(x¯ 0, r)))⊂C⁰(]−α, α[,B(x¯ 0, r)),

(2) T est contractante.

Nous pourrons ainsi conclure `a l’existence d’un point fixeγ deT, c’est-`a-dire une courbe int´egrale def passant parx₀au tempst= 0.

Fixons tout d’abord un rayonr > 0satisfaisant l’inclusionB(x¯ 0, r) ⊂U. Commef :U →RⁿestC¹ donc continue, nous pouvons poser

M := max

x∈B(x¯ 0,r)

kf(x)k<+∞.

On calcule alors

kT(γ(t))−x₀k=k Z t

0

f(γ(s))dsk ≤M·α

en utilisant `a nouveau l’in´egalit´e de Jensen. Nous aurons donc satisfait le point(1)ci-dessus si l’on choisit M·α ≤r.

On calcule ensuite∀γ,eγ ∈C⁰(]−α, α[,B(x¯ 0, r))que kT(γ)−T(eγ)k_∞ = sup

|t|<α

kT(γ)(t)−T(eγ)(t)k

= sup

|t|<α

k Z t

0

[f(γ(s))−f(eγ(s))ds]k

≤ α· sup

|s|<α

kf(γ(s))−f(eγ(s))k.

Commef est de classeC¹, sa diff´erentielle est continue et donc k:= sup

B(x¯ 0,r)

kdf_xk<∞.

Par le TAF, on en d´eduit quefestk-lipschitzienne, et donc que

kT(γ)−T(γe)k_∞≤α·k· kγ−γek_∞.

L’application se trouve ainsi ˆetre contractante si on choisitαde sorte queα·k <1. Ceci est compatible avec le choix pr´ec´edent deαpuisqu’au pire on diminue encore la valeur deα.

Les points(1)et(2)´etant satisfaits pour un certain couple de valeur(r, α), il existe par le th´eor`eme du point fixe une unique applicationγ ∈C<sup>0</sup>(]−α, α[,B(x¯ 0, r))tel queT(γ) =γ. Cette courbeγ est alors une courbe int´egrale def passant parx<sub>0</sub> au tempst = 0. On constate queγ est de classeC<sup>1</sup>en vertu du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel, comme

γ(t) =x₀+ Z t

0

f(γ(s))ds.

On constate alors queγ est de classeC²puisqueγ⁰ =f ◦γavecfetγ de classeC¹.

Unicit´e. L’unicit´e se montre de la mani`ere suivante. On commence par montrer que les deux solutions coincident sur un intervalle non vide contenant0. On choisit0 < β ≤ min{α, α⁰} ≤ αtel queγ¯(t) ∈ B(x¯ 0, r)pour toutt∈J := [−β/2, β/2]. On pose alors

Q:= max

t∈J kγ(t)−γ(t)k.¯

Par continuit´e, ce maximum est atteint en un pointt1 ∈J. Donc Q=kγ(t₁)−γ¯(t₁)k = k

Z t1

0

(γ⁰(s)−γ¯⁰(s))dsk

≤ Z t1

0

kf(γ(s))−f(¯γ(s))kds

≤ Z t1

0

kkγ(s)−¯γ(s)kds

≤ α·k·Q.

Commeα·k <1, on obtientQ= 0et les deux solutions coincident donc surJ.

Maintenant on noteJ^∗ le plus grand intervalle ouvert contenant 0 et tel queγ = ¯γ sur J^∗. Si J^∗ ne coincide pas avec]−α, α[∩]−α⁰, α⁰[, alorsJ^∗ admet un pointt2 `a sa fronti`ere contenu dans l’intervalle ouvert]−α, α[∩]−α⁰, α⁰[. Par continuit´eγ(t₂) = ¯γ(t₂)et donc les courbess7→γ(t₂+s)ets7→γ¯(t₂+s) coincident sur un voisinage ouvert de0. L’intervalleJ^∗n’´etait donc pas maximal.

En corollaire du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, nous avons donc que toute ´equation diff´erentielle ordinaire d’ordrek∈N<sup>∗</sup>admet des solutions locales, et que celles-ci sont uniques si on prescrit les valeurs en un point des d´eriv´ees dexjusqu’`a l’ordrek−1.

Du point de vue g´eom´etrique, nous avons donc que pour tout champ de vecteurs de classeC¹, par tout point passe une courbe int´egrale, et que deux courbes int´egrales ne peuvent jamais se croiser (sauf `a ˆetre confondues). De mˆeme, une courbe int´egrale ne peut jamais s’autointersecter, sauf si elle est p´eriodique.

2.3. Comportement des solutions. Maintenant que nous savons que toute ´equation diff´erentielle ordinaire d’ordre1et autonome admet des solutions locales, ou de mani`ere ´equivalente tout champ de vecteurs admet des courbes int´egrales au voisinage de chaque point, nous pouvons d´efinir la notion de solution maximale.

Definition 2.4. Soitf :U →Rⁿun champ de vecteurs de classeC¹.

Pour chaque pointx0 ∈U, il existe un unique intervalleJ(x0)⊂Rcontenant0en son int´erieur et une unique courbeγx0 :J(x0)→U int´egrale def et telle queγx0(0) =x0ayant la propri´et´e de maximalit´e suivante : toute autre courbe int´egrale¯γ : ¯J →Upassant parx₀ent= 0∈J¯v´erifie l’inclusionJ¯⊂J(x₀).

Bien ´evidemment nous avons alorsγx0(t) = ¯γ(t)pour toutt∈J¯.

La courbeγ_x0 : J(x₀) → U est alors appel´ee solution (ou courbe int´egrale) maximale de l’´equation

dx

dt =f(x)passant parx0au tempst= 0.

Remarquer queJ(x0)est un intervalle n´ecessairement ouvert que nous noterons]a, b[: sinon, on pourrait prolonger la solution en son extr´emit´e en utilisant le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. Mais il est possible que a=−∞oub =∞. Lorsqueaoubest fini, la question se pose de savoir ce qu’il se passe `a la limite de l’intervalle maximal de d´efinition.

Th´eor`eme 2.3. (des bouts) Soitf :U ⊂Rⁿ→Rⁿun champ de vecteurs de classeC¹,x₀un point deU et γ_x0 :]a, b[→U

la courbe int´egrale maximale issue dex0(c’est-`a-dire v´erifiantγx0(0) =x0).

Sib <∞, alors pour tout compactK⊂U il existeη∈]a, b[tel que γ_x0(t)∈/ K

pour toutη < t < b.

Respectivement, quitte `a remplacer le champf par−f, on voit que sia >−∞, alors pour tout compact K ⊂U il existeη∈]a, b[tel que∀a < t < ηon aitγ_x0(t)∈/ K.

Ceci implique que lorsque l’intervalle maximal de d´efinition d’une courbe int´egrale est fini en une extr´emit´e, en celle-ci la courbe tend soit vers le bord deU, soit `a l’infini (voir figure 11).

FIGURE11. b <∞implique fuite au bord ou `a l’infini.

D´emonstration. Pour plus de commodit´e, notons parγla courbe int´egraleγ_x0. Supposons le contraire : il existe un compactKet une suite(tn)de points dans]a, b[telle que

n→∞lim tn=b

etγ(tn)∈Kpour tout entiern. L’ensembleK ´etant compact, nous pouvons (quitte `a extraire une sous-suite)

´egalement supposer qu’il existez∈Ktel que

n→∞lim γ(tn) =z.

Maintenant fixonsα >0etr >0tels que d’une partB(z,2r)⊂U, et d’autre part α· sup

B(z,r)¯

kf(x)k ≤ r 2 et

α· sup

B(z,r)¯

kdf_xk< 1 2. Parce quef est de classeC¹, les applications

x0∈B(z, r)7→ sup

B(x¯ 0,r)

kf(x)k et

x₀∈B(z, r)7→ sup

B(x¯ 0,r)

kdf_xk sont continues. On en d´eduit qu’il existeε >0tel que

α· sup

B(x¯ 0,r)

kf(x)k ≤r et

α· sup

B(x¯ 0,r)

kdf_xk<1

pour tout x₀ ∈ B(z, ε). Ainsi, par l’argumentation du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, les domaines de d´efinitionJ(x0)des courbes int´egrales maximales issues de pointsx0appartenant `aB(z, ε)v´erifient

]−α, α[⊂J(x₀).

On choisit alorst_n∈]b−α/2, b[tel queγ(t_n)∈B(z, ε). La courbe int´egrale issue deγ(t_n)est d´efinie sur l’intervalle]−α, α[et permet donc de prolongerγau-del`a deb. Ceci contredit la maximalit´e deγ.

Nous consid´erons maintenant les courbes int´egrales dans leur ensemble. Comme nous venons de le voir dans la d´emonstration du th´eor`eme des bouts, deux courbes int´egrales d´emarrant en des points suffisamment proches seront d´efinies sur un intervalle ferm´e commun. Nous pouvons quantifier `a quel point elles resteront proches l’une de l’autre de la mani`ere suivante.

Th´eor`eme 2.4. Soitf un champ de vecteurs de classe C¹ sur un ouvertU etx₀ ∈ U. Supposons que [0, c]⊂J(x0).

Alors il existe un voisinageU⁰ dex₀dansU et une constantek≥0tel que, pour toutx∈U⁰, la courbe int´egraleγxissue dexsoit elle-aussi d´efinie sur[0, c]et v´erifie l’estim´ee suivante :

kγ_x0(t)−γ_x(t)k ≤ kx₀−xkexp(k·t) pour toutt∈[0, c].

Nous pouvons interpr´eter ce r´esultat de la mani`ere suivante. D’une part, la courbe int´egrale passant parx d´epend de mani`ere continue du pointx(voir figure 12). Plus pr´ecis´ement,

x→xlim₀γ_x(t) =γ_x0(t)

pour toutt∈[0, c]. D’autre part, deux courbes d´emarrant relativement proche ne peuvent d´evier l’une de l’autre qu’au plus d’une mani`ere exponentielle en fonction du temps.

FIGURE12. Convergence simple des courbes int´egrales et divergence au plus exponentielle.

D´emonstration. Par compacit´e de[0, c]il existeε > 0tel quex ∈U d`es quekx−γx0(t)k ≤ εpour un t∈ [0, c]. On pose alorsK ={x∈ Rⁿ |d(x, γ_x0([0, c]))≤ε} ⊂ U. L’ensembleK est compact et donc l’applicationf estk-lipschitz surK(en posantk= maxx∈Kkdf_xket en appliquant le TAF).

Soitδ >0suffisamment petit pour queδ exp(k·c)≤ ^ε₂. En particulier,δ ≤ ^ε₂. Posons U⁰={x∈Rⁿ| kx−x₀k< δ} ⊂K^◦ ⊂U.

Nous allons montrer que pour toutx∈U⁰ la courbe int´egraleγxest d´efinie sur[0, c].

Soiteγxla courbe int´egrale du champ de vecteursf

|

◦

Kd´efinie sur un intervalle maximal de la forme]a, b[.

Nous allons montrer queb > c.

Remarquons queγex:]a, b[→K^◦ est aussi une courbe int´egrale def issue dex. De la maximalit´e deγx, on d´eduit queγ_x(t) =eγ_x(t)pour toutt∈]a, b[. Posons pourt∈[0, b[

v(t) =kγ_x0(t)−γx(t)k.

Alors

v(t) =kγ_x0(t)−γx(t)k = kγ_x0(0)−γx(0) + Z t

0

(f(γx0(s))−f(γx(s)))dsk

≤ v(0) + Z t

0

k·v(s)ds puisqueγ_x0 etγ_xne sortent pas de

◦

K. Nous invoquons alors le lemme de Gronwall.

Lemma 2.1. (de Gronwall) Soitu: [0, a]→R+une application continue. Supposons qu’il existeC >0et k≥0tel que

u(t)≤C+ Z t

0

k·u(s)ds pour toutt∈[0, a]. Alors

u(t)≤Cexp(k·t) pour toutt∈[0, a].

D´emonstration. PosonsU(t) =C+Rt

0k·u(s)ds >0. Alorsu(t)≤U(t)et U⁰(t) =ku(t),

donc

U⁰(t)

U(t) = ku(t) U(t) ≤k.

On en d´eduit que

logU(t)≤logU(0) +kt et commeU(0) =Cen passant `a l’exponentielle il vient

U(t)≤Cexp(k·t)

d’o`u le r´esultat commeu(t)≤U(t).

En appliquant le lemme de Gronwall `au=vavecC=v(0) =kx₀−xk, il vient pour toutt∈[0, b[

kγ_x0(t)−γx(t)k ≤ kx₀−xkexp(k·t)≤δexp(k·b) Sib≤c, cela impliquerait alors que

kγ_x0(t)−γx(t)k ≤δexp(k·c)≤ ε 2,

et donc en particulierγx(t) ne quitte pas le compact{x ∈ Rⁿ | d(x, γx0([0, c])) ≤ ^ε₂} ⊂ K^◦ pour tout t∈[0, b[. Ceci contredirait la maximalit´e en vertu du th´eor`eme des bouts.

Donc pour toutx∈U⁰la courbe int´egraleγxest d´efinie sur[0, c]. Nous avons par ailleurs prouv´e l’estim´ee suivante :

kγ_x0(t)−γx(t)k ≤ kx₀−xkexp(k·t)

pour toutt∈[0, c], ce qui conclut la preuve.

Remarquons que, quitte `a remplacerf par−f et intervertir pass´e et futur des courbes, nous pouvons montrer que si un intervalle ferm´e[c, d]est contenu dansJ(x₀), alors il existe un ouvertU⁰autour dex₀tel que[c, d]⊂J(x)pour toutx∈U⁰ et pour lequel pour toutt∈[c, d]

kγ_x0(t)−γx(t)k ≤ kx₀−xkexp(k·t) o`uk≥0est une constante.

2.4. Flot d’un champ de vecteurs.

Definition 2.5. Soitf :U ⊂Rⁿ→Rⁿun champ de vecteurs de classeC¹. On d´efinit le flot du champ de vecteur comme l’application

ϕ: Ω ={(t, x)∈R×U |t∈J(x)} → U (t, x) 7→ γ_x(t) o`uγ_xd´esigne la courbe int´egrale maximale deftelle queγ_x(0) =x. Nous noterons

ϕ(t, x) =ϕ_t(x).

On peut ´ecrire

Ω = ∪

x∈UJ(x)× {x}.

Ainsi{0} ×U ⊂Ωmais en g´en´eral il n’existe pas d’intervalle ouvertJ autour de0tel queJ×U ⊂Ω.

N´eanmoins, nous pouvons d´emontrer le r´esultat suivant.

Proposition 2.2. Ωest un ouvert deR×U, et l’applicationϕ: Ω→U est continue.

D´emonstration. Montrons tout d’abord queΩest ouvert. Fixons(t₀, x₀)∈Ωet choisissonsα >0tel que [t0−α, t0+α]⊂J(x0). On peut alors trouver un voisinage ouvertU⁰ dex0tel que pour toutx∈U⁰on ait[t₀−α, t₀+α]⊂J(x)ainsi que la majoration de type exponentielle du th´eor`eme pr´ec´edent. On a bien trouv´e un voisinage ouvert

]t0−α, t0+α[×U⁰ de(t₀, x₀)qui soit inclus dansΩ, et doncΩest ouvert.

Maintenant, si(t, x)∈]t₀−α, t0+α[×U⁰, nous avons kϕ_t0(x0)−ϕt(x)k = kγ_x0(t0)−γx(t)k

≤ kγ_x0(t0)−γx0(t)k+kγ_x0(t)−γx(t)k

≤ kγ_x0(t₀)−γ_x0(t)k+kx₀−xkexp(k·t)

≤ kγ_x0(t0)−γx0(t)k+kx₀−xkexp(k·(t0+ε)).

Ainsi pour toutε >0, la continuit´e det7→γ_x0(t)implique l’existence deη >0tel que kγ_x0(t₀)−γ_x0(t)k< ε

d`es que|t−t₀|< η. On en d´eduit que pour(t, x) ∈]t₀−η, t₀+η[×B

x₀,_exp(k·(t^ε

0+ε))

kϕ_t0(x₀)−ϕ_t(x)k ≤2ε

montrant ainsi la continuit´e deϕ.

Nous observons ensuite que le flot v´erifie la formule remarquable suivante.

Proposition 2.3. (Formule du flot)

Sit₁ ∈J(x)ett₂ ∈J(ϕ_t1(x)), alorst₁+t₂∈J(x)et

ϕ_t1+t2(x) =ϕ_t2(ϕ_t1(x)).

D´emonstration. Consid´erons la courbet7→ϕ_t1+t(x). C’est une courbe int´egrale d´emarrant enϕ_t1(x)et elle est maximalement d´efinie sur l’intervalleJ(x)−t1(exercice). On en d´eduit queJ(ϕt1(x)) =J(x)−t1et queϕ_t(ϕ_t1(x)) =ϕ_t1+t(x)par unicit´e des courbes int´egrales d´emarrant en un point. Ainsit₂ ∈J(ϕ_t1(x))

ssit1+t2 ∈J(x)et on a alors la formule annonc´ee.

FIGURE13. Formule du flot.

Observons en particulier que si t ∈ J(x), alors −t ∈ J(ϕt(x))et ϕ−t(ϕt(x)) = x. Dans le cas o`u Ω =R×U (autrement dit,J(x) =Rpour toutx ∈U, on dit que le champ de vecteurs est complet), on dispose alors d’un morphisme de groupes

ϕ:R → Hom´eo(U) t 7→ ϕt

deRdans l’ensemble des hom´eomorphismes deU. Ceci justifie la notationϕ(t,·) =ϕtcomme la famille {ϕ_t}_t∈Rest une famille `a un param`etre d’hom´eomorphismes. En fait, on dispose mˆeme d’une famille `a un param`etre de diff´eomorphismes deU en vertu du r´esultat suivant.

Th´eor`eme 2.5. Sif est un champ de vecteurs de classeC¹ d´efini sur un ouvertU, alors le flotϕ: Ω→U est de classeC¹.

Autrement dit, lorsque le champ de vecteurs est complet (cadΩ =R×U), chaque hom´eomorphismeϕ_t est de classeC¹et son inverseϕ−taussi. On obtient ainsi une famille `a un param`etre de diff´eomorphismes deU : la courbe de classeC¹ suivante

ϕ:R → Diff´eo(U) t 7→ ϕ_t

est un morphisme de groupes deRdans l’espace des diff´eomorphismes deU (en particulierϕ(0) =id_U).

D´emonstration. Devoir maison !

2.5. Orbites. On se fixe un champ de vecteursf : U ⊂ Rⁿ → Rⁿ de classe C¹. Nous allons classer l’ensemble des courbes int´egrales en fonction de leur image.

Definition 2.6. L’orbite d’un pointxdeU est le sous-ensemble O_x :={ϕ_t(x)|t∈J(x)} ⊂U.

Cette d´efinition permet de d´ecomposer g´eom´etriquement le domaineU selon la dynamique def.

Proposition 2.4. Les orbites def forment une partition deU, appel´ee portrait de phase def. De mani`ere ´equivalente, la relation d´efinie par

y∼x⇔y∈ O_x est une relation d’´equivalence. Ainsi

U = a

[x]∈U/∼

O_x.