Lyc´ee Schuman Perret F´evrier 2021
Equations diff´erentielles lin´eaires
exercices pratiques Cira 1
EXERCICE 1 Un syst`eme est mod´elis´e par un circuit compos´e d’une r´esistance et d’un condensateur en s´erie. On note R la valeur de la r´esistance, en ohm, et C la capacit´e du condensateur, en farad.
e(t) est la tension aux bornes du circuit, exprim´ee en volt, `a l’instant t (en seconde).
s(t) est la tension aux bornes du condensateur, exprim´ee en volt, `a l’instant t (en seconde).
e(t) s(t)
R
C
A l’instant` t= 0 le condensateur est d´echarg´e et on a : s(0) = 0.
L’application des lois de la physique conduit, pour tout t> 0, `a la relation :RCs′(t) +s(t) =e(t) qui s’´ecrit encore : τ s′(t) +s(t) =e(t), avec τ =RC.
Dans tout l’exercice, on suppose que : τ = 2 secondes.
Dans cette partie le circuit est aliment´e par une tension constante : e(t) =e0 = 6 V.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) : 2x′(t) +x(t) = 6, o`u l’inconnue x est une fonction d´erivable de la variable t, o`u t est un r´eel positif.
1. D´eterminer une solution particuli`ere constante x0 de l’´equation diff´erentielle (E).
2. R´esoudre I’´equation diff´erentielle sans second membre (E0) : 2x′(t) +x(t) = 0.
3. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
4. Justifier que la fonction s v´erifie, pour toutt >0 : s(t) = 6
1−e−2t .
Pour ce circuit on consid`ere que la tension finale aux bornes du condensateur est de 6 V.
a. Que repr´esente cette valeur 6 pour la fonction s? On n’attend pas de justification.
b. Quel pourcentage de la tension finale a-t-on aux bornes du condensateur lorsque t= 2 ? Arrondir ce pourcentage `a l’unit´e.
5. On consid`ere que le condensateur est charg´e lorsque la tension `a ses bornes atteint 95 % de la tension finale. On dit alors que le condensateur est pass´e en r´egime permanent.
a. Estimer graphiquement au bout de combien de temps le condensateur est charg´e. Faire apparaˆıtre sur le graphique fourni en annexe les traits n´ecessaires `a la lecture graphique.
b. D´eterminer par la m´ethode de votre choix, que vous pr´eciserez, une valeur approch´ee au centi`eme de la dur´ee n´ecessaire pour atteindre le r´egime permanent.
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exercices pratiques Cira 1
EXERCICE 2
Une entreprise d’injection plastique est charg´ee de r´ealiser par moulage des h´elices de mini-drones dans un nouveau mat´eriau plastique.
La fabrication s’effectue en deux temps :
Phase 1 : injection sous pression de la mati`ere fondue `a une temp´erature initiale de 240°C et maintien sous pression de la mati`ere pendant les 3 premi`eres secondes du refroidissement.
Phase 2 : poursuite du refroidissement et ´ejection de l’h´elice.
A l’issue de ces deux ´etapes le moule est referm´e et une nouvelle h´elice est introduite.`
Pour ˆetre utilisable, on estime que le mat´eriau plastique ne doit pas avoir perdu plus de 20 % de sa temp´erature initiale lors des 3 premi`eres secondes du refroidissement.
Lors de la fabrication, afin de maˆıtriser le refroidissement de l’h´elice, on ´etudie la temp´erature T `a laquelle le moule doit ˆetre maintenu. En effet, pour garantir un remplissage homog`ene du moule, le mat´eriau plastique ne doit pas refroidir trop vite lors de son injection dans le moule.
Partie 1
Des s´eries de mesures ont permis de r´ealiser trois courbes de refroidissement. Elles repr´esentent l’´evolution de la temp´erature du mat´eriau plastique (exprim´ee en degr´es Celsius) en fonction du temps (exprim´e en secondes), pour trois valeurs diff´erentes de la temp´erature du moule, T1, T2 et T3.
1. Les trois temp´eratures satisfont-elles aux conditions souhait´ees de fabrication d’une h´elice ? D´etailler la r´eponse.
2. On estime de plus que le mat´eriau a suffisamment durci et que l’h´elice peut ˆetre ´eject´ee sans risque de d´eformation lorsque sa temp´erature atteint les 100 degr´es.
Parmi les temp´eratures qui satisfont aux conditions de fabrication, quelle est la temp´erature du moule qui permet de fabriquer le plus d’h´elices dans un temps donn´e ? Expliquer.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
260 Temp´erature du mat´eriau plastique en °C
Temp´eratureT3 du moule Temp´eratureT2 du moule Temp´eratureT1 du moule
Temps en s
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Partie 2
On d´ecide de maintenir le moule `a une temp´erature de 80°C. On s’int´eresse `a la fonction donnant la temp´erature du mat´eriau plastique (exprim´ee en degr´es) en fonction du temps (exprim´e en secondes).
On admet que cette fonction est solution de l’´equation diff´erentielle (E) : (E) : y′+ 0,1y= 8
Dans cette ´equation, y d´esigne une fonction de la variable r´eelle t, d´efinie et d´erivable sur [0 ; +∞[.
1. D´eterminer l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E0) : y′+ 0,1y= 0.
2. D´eterminer le r´eel a tel que la fonction g, d´efinie sur [0 ; +∞[ par g(t) = a soit une solution particuli`ere de l’´equation (E).
3. En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
4. D´eterminer la fonctionf d´efinie sur [0 ; +∞[, solution de l’´equation diff´erentielle (E) satisfaisant aux conditions de temp´erature du probl`eme.
EXERCICE 3
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) : y” + 2y′ +y= 2e−x,
o`uy est une fonction inconnue de la variable r´eellex, d´efinie et deux fois d´erivable sur R,y′ la fonction d´eriv´ee de y ety′′ sa fonction d´eriv´ee seconde.
1. a. R´esoudre dansR l’´equation r2+ 2r+ 1 = 0.
b. En d´eduire les solutions d´efinies surR de l’´equation diff´erentielle (E0) : y′′+ 2y′+y= 0.
2. Cette question est un questionnaire `a choix multiples. Une seule r´eponse est exacte. Recopier sur la copie la r´eponse qui vous paraˆIt exacte. On ne demande aucune justification. La r´eponse juste rapporte un point. Une r´eponse fausse ou une absence de r´eponse ne rapporte ni n’enl`eve de point.
Une solution de l’´equation diff´erentielle (E) est donn´ee par la fonction d´efinie surRpar l’expression ci-dessous.
g(x) = 2e−x h(x) =x2e−x k(x) = 2xe−x
Les d´eriv´ees premi`ere et seconde de ces fonctions sont donn´ees ci-dessous (ces calculs sont exacts).
g′(x) =−2e−x h′(x) = 2x−x2
e−x k′(x) = (2−2x)e−x g′′(x) = 2e−x h′′(x) = x2−4x+ 2
e−x k′′(x) = (−4 + 2x)e−x
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Equations diff´erentielles lin´eaires
exercices pratiques Cira 1
3. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
4. D´eterminer la solution de l’´equation diff´erentielle (E) qui v´erifie les conditions initialesf(0) =−1 et f′(0) = 1.
EXERCICE 4
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) :
y′′+ 5y′+ 4y = 10,
o`uy est une fonction de la variablex, d´efinie et deux fois d´erivable sur [0 ; +∞[, y′ la fonction d´eriv´ee dey ety′′ sa fonction d´eriv´ee seconde.
1. a. R´esoudre dansR l’´equation r2+ 5r+ 4 = 0.
b. En d´eduire les solutions d´efinies surR de l’´equation diff´erentielle (E0) : y′′+ 5y′+ 4y= 0.
2. Un logiciel de calcul formel r´esout ci-dessous l’´equation diff´erentielle (E).
La ligne d’entr´ee (%i1) est la ligne de commande de la r´esolution de l’´equation diff´erentielle (E).
La ligne not´ee (%o1) est la ligne de sortie.
Ce logiciel note %e−t la quantit´e e−t et %k1 et %k2 deux constantes r´eelles k1 etk2. (%i1) ode2 (’diff(y,t,2)+5*’diff(y, t) + 4*y=10,y, t) ; (%o1) y = %k1∗%e−t+ %k2%e−4t+5
2
L’´etude du syst`eme m´ecanique montre quefest la solution de l’´equation diff´erentielle (E) v´erifiant les conditions initiales f(0) = 5 et f′(0) =−1.
En utilisant le r´esultat du logiciel, qu’on ne demande pas de d´emontrer, d´eterminer une expression def(t) en fonction de t.
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