Exercice 2 On considère l’équation différentielle 2ty0+y= 3tcos(t3/2) (t≥0)

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Universit´e de Lille L3 Math´ematiques

2017-2018 M-62

Equations diff´erentielles lin´eaires

Exercice 1

a) R´esoudre surRl’´equationt²y⁰⁰−2ty⁰+ 2y= 0 en commen¸cant par chercher les solutions de la forme t7→t^α.

b) Résoudre sur ]−1; 1[ l’équation 4(1−t²)y⁰⁰−4ty⁰+y= 0 en commen¸cant par chercher les solutions développables en série entière.

Exercice 2

On considère l’équation différentielle 2ty⁰+y= 3tcos(t^3/2) (t≥0).

a) Trouver une solution développable en série entière.

b) D´eterminer toutes les solutions.

c) Montrer qu’il existe une unique solution prolongeable par continuit´e en 0.

Exercice 3

Pourλ >0, on s’intéresse à l’équation de Bessel

∀t∈]0; +∞[, t²y⁰⁰+ty⁰+ (t²−λ²)y= 0 dont on cherche les solutions sous la forme

φ(t) =t^r

+∞

X

n=0

a_ntⁿ (t∈]0;R[) (1)

où r ∈ R et a0 6= 0 (ce que l’on peut toujours supposer, quitte à changer r), et où R est le rayon de convergence deP

antⁿ.

a) Montrer queφdonn´ee par (1) est solution si et seulement si









 R >0 r=λ a₁= 0

∀n≥2, a_n =−an−2/(n²+ 2nλ) ou









 R >0 r=−λ (1−2λ)a₁= 0

∀n≥2, (n²−2nλ)a_n+a_n−2= 0

b) Montrer que la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ parφ_λ(t) =t^λ

+∞

X

n=0

(−1)ⁿt²ⁿ

2²ⁿn!(λ+ 1). . .(λ+n) est solution.

c) Siλ /∈N, montrer queφ_−λ est aussi solution. En d´eduire un syst`eme fondamental de solutions.

d) Siλ∈N, montrer qu’il n’existe qu’une seule solution de la forme (1) (`a constante multiplicative pr`es).

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Exercice 4

a) Soitnun entier relatif (n6= 0,1), etaetbdes fonctions continues deIdansR. On consid`ere l’´equation de Bernoulli

y⁰+a(t)y+b(t)yⁿ= 0

A l’aide du changement de fonctionz= 1/yⁿ⁻¹ convenablement justifié, ramener l’équation de Ber- noulli à une équation linéaire.

b) R´esoudrety⁰+y−ty³= 0.

Exercice 5

Soita∈R, on considère l’équation différentielley⁽³⁾−ay⁰⁰−y⁰+ay= 0.

a) D´eterminer l’ensembleS des solutions.

b) SoitE l’ensemble des solutions qui tendent vers 0 en +∞: v´erifier queEest un sous-espace vectoriel deS, et discuter sa dimension selon la valeur dea.

Exercice 6

a) Résoudre sur ]0;π[ l’équation différentielley⁰⁰+y= cotant.

b) R´esoudrey⁰⁰+ 2y⁰−3y= 1 e^−x+ 1.

Exercice 7

SoitI un intervalle de R, t0 ∈I etb, c:I→Rdes fonctions de classe C¹. On consid`ere le probl`eme de Cauchy

y⁰⁰+b(t)y⁰+c(t)y= 0 y(t0) =y0

On poseu(t) =y(t)e¹²

Rt t0b(s) ds

.

a) Exprimery, y⁰, y⁰⁰ en fonction deuet de ses d´eriv´ees.

b) Montrer qu’il existe une fonction p:I→Rcontinue telle queusoit solution de u⁰⁰+p(t)u= 0

u(t₀) =y₀

Exercice 8

Soit p: R⁺ →R une fonction R⁺-intégrable (c’est-à-dire d’intégrale sur R⁺ absolument convergente).

On considère l’équation différentielle

y⁰⁰+p(t)y= 0

a) Donner l’équation différentielle vérifiée par le Wronskien d’un système fondamental de solutions. Que peut-on en déduire ?

b) Montrer que si une solution est bornée sur R⁺, alors sa dérivée tend vers 0 en +∞ (on pourra commencer par exprimery⁰(t₁)−y⁰(t₂)sous forme intégrale).

c) Montrer, en raisonnant par l’absurde et en introduisant le Wronskien, qu’il existe une solution non born´ee surR⁺.

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Exercice 9

Soitp: [a; +∞[→]0; +∞[ une fonction croissante de classeC¹. On considère l’équation différentielle y⁰⁰+p(t)y= 0

a) Montrer siy est solution, alorsy⁰(t)²−y⁰(a)²=−[p(s)y(s)²]^t_a+Rt

ap⁰(s)y(s)²ds.

b) En d´eduire qu’il existeM ∈Rtelle que∀t, p(t)y(t)²≤M+Rt

ap⁰(s)y(s)²ds.

c) Montrer que n´ecessairementy est born´ee sur [a; +∞[.

Exercice 10

Trouver toutes les fonctionsf :R→Rcontinues telles que

∀x∈R, f(x)−2 Z x

0

f(t) cos(t) dt= 1

Exercice 11 Pourx∈R, on pose

F(x) = Z +∞

0

cos(tx)e^−t²dt

a) Montrer que la fonctionF est bien définie et dérivable surRet exprimerF⁰ sous forme intégrale.

b) Trouver une équation différentielle vérifiée parF et en déduire l’expression explicite deF(x).

Exercice 12

On cherche à déterminer les morphismes (de groupes) continus de (R,+) dans (R^∗,×), c’est-à-dire les fonctionsf :R→R^∗ continues vérifiant

∀x, t∈R, f(x+t) =f(x)f(t) a) Montrer que, sif convient, on a

∀x, y∈R, Z x+y

x

f(t) dt=f(x) Z y

0

f(t) dt

b) Montrer quef(0) = 1, puis qu’il existey0 tel queRy0

0 f(t) dt6= 0. En d´eduire quef est de classeC¹. c) Montrer quef est solution dey⁰ =ay, o`ua=f⁰(0).

d) Conclure.

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