Trouver les solutions r´eelles d’´equation diff´erentielle y0+ysinx= 0

L1 PCST

S2, Math´ematiques

Examen - Session 2 - 13 juin 2017

Dur´ee : 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e Toute r´eponse non justifi´ee est consid´er´ee comme z´ero Questions :

1. D´eterminer et dessiner le domaine de la fonction f(x, y) =√ xy.

2. Trouver les solutions r´eelles d’´equation diff´erentielle y⁰+ysinx= 0.

3. Soitf :R² →Rune fonction de classeC¹telle quef(100; 2) = 5,f_x⁰(100; 2) = 3 etf_y⁰(100; 2) = −1.

Donner une valeur approch´ee def(101 ; 1,8).

4. Montrer que la matrice _{1 1−1}

2 1−3

−1−1 2

est l’inverse de la matrice_{1 1 2}

1−1−1

1 0 1

et l’utilser pour r`Esoudre

le syst`eme d’´equations lin´eares







x+y+ 2z = 5 x−y− z = 1 x + z = 3

Exercice 1: On consid`ere la fonction `a deux variables f(x, y) = x(x+ 1)²−y². 1. D´eterminer les deux points critiques de f.

2. Pr´eciser la nature de chacun d’eux.

Exercice 2: Soit A la matrice (^{2 1}_{1 2}).

1. D´eterminer les valeurs propres de A, et pour chaque valeur propre donner un vecteur propre associ´e.

2. Donner une matrice P telle que P⁻¹AP soit diagonale.

Exercice 3: On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰+y =x³+x² (E)

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee `a (E). C’est `a dire : y⁰⁰+y= 0.

2. Montrer que x³+x²−6x−2 est une solution particuli`ere de (E) et en d´eduire la forme g´en´erale de (E).

3. Trouver la solution exacte si y(0) =y⁰(0) = 0.

Exercice 4: On veut ´etudier la continuit´e de la fonction f(x, y) = xy

x²+y² si (x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0.

1. D´eterminer f(0, x) et calculer limx→0f(x,0).

2. D´eterminer f(x,−x) et calculer limx→0f(x, x).

3. En d´eduire que f n’est pas continue en (0,0).