En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (ABC)

L1 PCST

S2, Math´ematiques

Examen - Session 1 - 23 mai 2018

Dur´ee : 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Toute r´eponse non justifi´ee est consid´er´ee comme z´ero

Exercice 1: On fixe un rep`ere othonorm´e de l’espace (O;~i,~j, ~k). On consid`ere les trois points A(0,0,0) ; B(2,1,−1) ; C(1,1,1).

1. Calculer le produit vectoriel−→

AB∧−→

AC. En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (ABC).

2. L’ensemble des points D(x, y, z) v´erifiant : −−→ AD·−−→

BC = 0 et −−→

BD·−→

AC = 0.

est une droite. D´eterminer l’´equation param´etrique de cette droite.

3. Parmi tous les points obtenus `a la question pr´ec´edente, combien appartiennent au plan (ABC).

Justifier.

Exercice 2: On consid`ere la fonction r´eelle de deux variables f d´efinie par f(x, y) = _2y−x^y2 2. 1. D´eterminer et repr´esenter son ensemble de d´efinition D_f.

2. Ecrire l’´equation au plan tangent `a la surface S_f au point (2; 3;f(2,3)). En d´eduire une valeur approch´ee de f au point (2,2 ; 2,9).

3. D´eterminer et repr´esenter la courbe de niveauC_k pour k= 1.

Exercice 3: On d´efinit la matrice M et les vecteurs ~u,~v et w~ comme suit :

M =





7 −6 −2 9 −8 −3

−2 2 1



 ~u=



 2 3

−1



 ~v =





−2

−3 2



 w~ =



 1 1 0





1. Montrer que~u ~v etw~ sont des vecteurs propres de M de valeurs propres −1, 0, et 1 respective- ment. En d´eduire une matrice P telle queP⁻¹M P soit diagonale.

2. Soitk ∈N^>0. D´eterminer (P⁻¹M P)^k et puisM^k. Vous pouvez s´eparerk pair et impair.

3. Soient (a_n)n∈N, (b_n)n∈N et (c_n)n∈N trois suites r´eelles satisfaisant les relations suivantes : 7a_n−6b_n−2c_n=a_n+1

9an−8bn−3cn=bn+1

−2a_n+ 2b_n+ c_n =c_n+1 Notons M⁰ =I3 et pour tout entier n≥0, posons Xn=

_an

bn

cn

. (a) Montrer que pour tout entier n≥0, on a X_n =MⁿX₀.

(b) En d´eduire une expression de a_n, b_n et c_n en fonction dea₀,b₀ etc₀.

Exercice 4: On consid`ere la fonction suivante : f :R×]0,+∞]→R d´efinie comme f(x, y) =y x²+ (lny)²

1. D´eterminer les points critiques def. 2. Etudier la nature de ces points critiques.

3. Montrer que (0,1) est un extremum global de f.

Exercice 5: On veut trouver de deux mani`eres diff´erentes l’ensemble des fonctions y : R → R de classe C¹ v´erifiant l’´equation diff´erentielle

(E) y⁰⁰+ 2y⁰ = sinx

1. (a) Si (E0) est l’´equation sans second membre attach´ee `a (E), ´ecrire son ´equation caract´eristique et en d´eduire l’ensemble des solutions de (E₀).

(b) Montrer que

−2

5cosx−1 5sinx

est une solution particuli`ere de (E) et en d´eduire la solution g´en´erale de (E).

2. (a) En posantz =y⁰ dans (E) se ramener `a une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 enz, que l’on

´

ecrira et notera (e).

(b) Trouver la solution g´en´erale z de (e).

Indication : une primitive de e^2xsinx est e^{2x 2}₅sinx− ¹₅cosx . (c) En d´eduire la solution g´en´erale y de (E).