1 et fy donner l’´equation de la tangente `a la surface d´etermin´ee par f et une valeur approch´e de f(2,2

L1 PCST

S2, Math´ematiques

Examen - Session 1 - 20 mai 2016

Dur´ee : 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Toute r´eponse non justifi´ee est consid´er´ee comme z`Ero Questions :

1. Sachant que la fonctionf :R² est de classe C¹ et que f(2,5) = 6,f_x⁰(2,5) = 1 et f_y⁰(2,5) =−1, donner l’´equation de la tangente `a la surface d´etermin´ee par f et une valeur approch´e de f(2,2 ; 4,9).

2. Soit P₁ le plan d’´equation x+y = 0 et P₂ le plan d’´equation x−z = 0. Notons la droite d l’intersection de ces deux plans. D´eterminer la repr´esentation param´etrique de cette droite.

3. Calculer l’inverse de la matrice (_{−1 1}^{1 1}) et l’utiliser pour r´esoudre le syst`eme

x+y= 2

−x+y= 5 4. Donner l’ensemble des solutions de y⁰⁰−6y⁰+ 9y = 0.

Exercice 1: On consid`ere la fonction de deux variables g :R² →R d´efinie par la formule g(x, y) = x³

3 +y³

3 + x²y 2 −y.

1. Expliciter les fonctions partiellesx7→g(x,0) ety7→g(0, y). En d´eduire queg ne peut admettre ni de minimum global, ni de maximum global.

2. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 de la fonction g.

3. V´erifier que le point de coordonn´ees (0,1) est un point critique de g. D´eterminer la nature de ce point

4. Trouver les autres points critiques et leurs natures.

Exercice 2: Soient a, b etc des nombres r´eels et (u_n)n∈N, (v_n)n∈Nl et (w_n)n∈N trois suite d´efinie par







u_n+1 = 5u_n+ 2v_n+ 4w_n v_n+1 = 2u_n+ 2v_n+ 2w_n w_n+1 = 4u_n+ 2v_n+ 5w_n

et u₀ =a, v₀ =b, w₀ =c.

On consid`ere, pour tout entier n≥0, le vecteur colonne X_n =_un

vn

wn

.

1. Montrer qu’on a l’´egalit´e Xn+1 =AXn, o`uA est une matrice `a d´eterminer.

2. En d´eduire l’´egalit´e X_n =AⁿX₀, pour tout entiern ≥0.

3. Montrer que ₁

−10

, ₁

−2 0

et ₂

12

sont des vecteurs propres de A. Calculer Aⁿ. 4. En d´eduire une formule donnant la valeur de u_n, v_n etw_n en fonction de a, b, cet n.

Exercice 3: Notons ∆ la droite ∆ ={(x, y)∈R²| y= 0}. Soit f :R² →R la fonction d´efinie par (x, y)7−→

(

y²sin

x y

si y6= 0

0 si y= 0

1. Pourquoi est-ce que f est continue sur R²\∆.

2. Soit (x₀,0)∈∆ donn´e. Montrer que lim(x,y)→(x0,0)f(x, y) = 0 et en d´eduire que f est continue sur R². (indication :

sin

x y

≤1) 3. Montrer quef_x⁰(x, y) =

(

ycos

x y

siy 6= 0

0 siy = 0

4. Donner une expression analogue pour f_y⁰(x, y).

5. D´eterminer les valeurs de _∂x∂y^∂2f et _∂y∂x^∂2f en (0,0). Pourquoi f n’est pas de classe C² ?

Exercice 4: Dans ce probl`eme y(x),u(x) et z(x) sont des fonctions inconnues de x. Pour simplifier l’´ecriture on les note y, uet z respectivement. Leur domaine de d´efinition est ]0,+∞[. On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(E) xy⁰⁰−2(x−1)y⁰ + (x−2)y=xe^x

o`u y :]0,+∞[→R est une fonction de x, deux fois d´erivable. Le but de ce probl`eme est de r´esoudre (E).

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle xu⁰+ 2u=x d’inconnue u:]0,+∞[.

2. A l’aide du changement de fonction inconnue z⁰ =u, r´esoudre xz⁰⁰+ 2z⁰ =x.

3. En fin `a l’aide du changement de fonction inconnue y=ze^x r´esoudre (E).