R´ esolution approch´ ee d’une ´ equation

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R´ esolution approch´ ee d’une ´ equation

Diff´ erentes m´ ethodes et algorithmes

On cherche à résoudre approximativement, surtout dans la mesure où on ne sait pas faire mieux autre- ment, une équation de la forme f(x) = 0. En d’autres termes, on cherche une valeur approchée d’un réel α tel que f(α) = 0.

Avant de se lancer dans une telle recherche, on se place dans un cadre dans lequel une telle solution existe et est de plus unique.

Ce cadre est donné par le théorème de la bijection, ou théorème des valeurs intermédiaires (version forte), dès lors qu’on est assuré que sur [a;b] :

— f est continue

— f est strictement monotone

— f(a) et f(b) sont de signes diff´erents, soit encoref(a)f(b)<0.

a b

f(a) f(b)

α

Exercices

On pourra tester toutes les méthodes proposées pour répondre aux diffférentes questions suivantes (indépendamment les unes des autres) :

1. Déterminer une approximation de la solution de l’équation f(x) = 10 sur l’intervalle [3; 4], oùf est la fonction carrée f :x7→x².

2. Calculer une approximation des solutions de l’équation x³+ 1 = 3x. 3. Déterminer une valeur approchée à 10⁻⁴ près de √³

2.

4. Donner une approximation de la solution de l’´equation cosx 2

= 0 sur [0; 2π] (la r´esoudre exactement d’abord. . .).

5. Donner une approximation de l’´equation cos(x) = sin(x) sur [0; 2π[.

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Résolution approchée d’une équation - TâleS 1/4

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I - Recherche par balayage

La méthode peut être la plus simple, et na¨ıve, pour rechercher la solution approchée de l’équation f(x) = 0 est de balayer et tester toutes les valeurs possibles à la précision souhaitée.

Par exemple, si on recherche une solution approchée à 10⁻² près dans l’intervalle [1; 3], on commence par calculer f(1), puis f(1,01), puis f(1,02), puis f(1,03), etc . . .

Ci-contre l’algorithme pour une recherche avec une pr´ecision de 10⁻^N.

Algorithme

Entrer a et N a→ X

Tant que f(a)f(X)>0 X+10⁻^N → X

Fin Tant que Afficher X

D’une manière un peu plus élaborée, toujours par exemple sur l’intervalle [1; 3] par exemple, on peut commencer par balayer les valeurs à une décimale :f(1,1),f(1,2),f(1,3), . . .jusqu’à la valeur où le signe change, f(1,6) par exemple.

Ensuite on balaye plus précisément à 10⁻² : f(1,51), f(1,52), f(1,53), . . .jusqu’au changement de signe, puis à 10⁻³, . . .

Algorithme

Entrer a et N a→ X

Pour P allant de 0 `a N Tant que f(a)f(X)>0

X+10⁻^P → X Fin Tant que X-10⁻^P → X Fin Tant que Afficher X

Exercice 1

Pour avoir un résultat à 10⁻^N près, soit à peu prèsN chiffres significatifs, on doit s’attendre

à effectuer au pire 10^N calculs avec la première méthode par balayage.

On suppose qu’un ordinateur effectue de l’ordre de 10⁹ opérations à la seconde (ordre de grandeur d’un processeur cadencé à une fréquence de 1GHz). Quel temps faudra-t’il pour obtenir 10 chiffres significatif dans notre approximation ? 100 chiffres significatifs ? 1000 chiffres significatifs ?

(Donner les résultats temporels avec des unités adaptées : heures, jours, années, . . .)

II - Recherche par dichotomie

On ne sait pas, a priori, ou se trouve la solution recherch´ee dans l’intervalle [a;b].

Plutôt que de commencer par balayer à partir de a, ou à partir de b, on peut couper l’intervalle en deux et considérer le milieu m= a+b de [a;b]. 2

Ensuite, comme pour la méthode par balayage, on regarde si on a dépassé la solution ou non, grâce au signe de f(a)f(m), et on recom- mence en considérant soit l’intervalle [a;m] soit [m;b] à la place de l’intervalle [a;b] initial.

Algorithme

Entrer a, b, N Tant que (b-a)>10⁻^N

(a+b)/2→ m Si f(a)f(m)>0

m→a Sinon

m→b Fin Si Fin Tant que Afficher a, b

Qualit´e de l’approximation ou de l’erreur commise La m´ethode par dichotomie fournit un encadre- ment de la solution, il est donc facile d’avoir une majoration de l’erreur.

En effet, initialement la solution α recherch´ee est dans l’intervalle [a;b], de longueur l =b−a, et donc l’erreur commise en prenant le milieu m de [a; ] comme approximation est au plus l.

A chaque itération, la longueur de l’intervalle est divisée par 2 : au bout denitérations l’erreur commise est au plus de b−a

2ⁿ .

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Ainsi, si on souhaite avoir une approximation de α avec une pr´ecision de 10⁻^N, il suffit d’avoir b−a

2ⁿ 610⁻^N ⇐⇒ n> log(b−a) +N logN en utilisant le logarithme d´ecimal log.

Remarque : En toute rigueur, il ne faut pas confondre pr´ecision de l’approximation et nombre de chiffres significatifs exacts.

Par exemple,2,4999est une approximation de2,5avec une pr´ecision de10⁻⁴, alors que seulement 2 chiffres significatifs sont exacts.

Exercice 2

Avec la même puissance de calcul que dans l’exercice précédent, quel temps faudra-t’il pour obtenir 10 chiffres significatifs ? 100 chiffres significatifs ? 1000 chiffres significatifs ?

III - M´ ethode de la s´ ecante

Avec les méthodes précédentes, on ne prend pas en compte les valeurs de f aux extrémités de l’intervalle de recherche pour définir le nouveau point que l’on va tester.

L’idée de la méthode de la sécante est d’utiliser . . . des sécantes

`a la courbe, d’o`u son nom. . .

Plus précisément, on part comme précédemment de l’intervalle [a;b] et du segment [AB] de la sécante (AB) à la courbe, avec A(a;f(a)) et B(b;f(b)).

On ne considère plus alors le milieu m de [a;b], qui ne dépend pas de la fonction f, mais l’abscisse m du point d’intersection M de la sécante (AB) et de l’axe des abscisses.

a b

f(a) f(b)

A

B

M× m

Exercice 3

1. Donner le coefficient directeur de (AB), et d´eterminer son

´equation r´eduite.

2. En d´eduire que la valeur dem, abscisse du point d’intersection de (AB) avec l’axe des abscisses, est donn´ee par :

m=a− b−a

f(b)−f(a)f(a)

3. Un algorithme pour la méthode de la sécante est donné ci- contre.

Peut-on comme dans l’algorithme pr´ec´edent de la dichotomie utiliser une boucle conditionnelle"Tant que (b-a)>10⁻^N"

`a la place de la boucle "Pour I allant de 1 `a N"?

Algorithme

Entrer a,b, N

Pour I allant de 1 `a N a− b−a

f(b)−f(a)f(a)→m Si f(a)f(m)>0

m→a Sinon

m→b Fin Si Fin Pour Afficher m

Qualité de l’approximation ou de l’erreur commise On montre que, par exemple pour résoudre l’équation f(x) = 0, avec f(x) =x²−10 (c’est-à-dire trouver une valeur approchée de √

10) sur l’intervalle [2; 3], la méthode de la sécante nécessite environ N itération pour avoir une précision de l’ordre de 10⁻^N :

— 10 itérations pour obtenir une précision de 10⁻¹⁰ (environ 10 décimales),

— 100 itérations pour obtenir une précision de 10⁻¹⁰⁰, (environ 100 décimales),

— . . .

Comparer avec les méthodes précédentes !

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IV - M´ ethode de Newton

La méthode de Newton consiste à remplacer la sécante à la courbe par sa tangente.

On part d’une valeur m, et on consid`ere la tangente `a la courbe au point d’abscisse m. La nouvelle valeur m^′ de m est alors l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.

On r´eit`ere ensuite en partant de cette nouvelle valeur m^′.

Exercice 4

1. Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe de f au point d’abscisse m.

2. En d´eduire m^′, l’abscisse du point d’intersection de cette tangente et de l’axe des abscisse.

3. Ecrire l’algorithme de la m´ethode de Newton en mo- difiant l’algorithme de la s´ecante.

4. Dans quel(s) cas l’algorithme de Newton risque de ne pas converger ?

m f(m)

m^′

Qualité de l’approximation ou de l’erreur commise La méthode de Newton est redoutablement efficace. La convergence de cette méthode est quadratique : cela signifie qu’à chaque itération, la précision est multipliée par 2, ou encore, qu’à chaque itération le nombre de décimales exactes double.

Avec le même exemple utilisé précédemment pour la méthode de la sécante, en partant de la valeur initiale m = 4,

— avec 4 itérations on obtient une précision de 10⁻¹⁰ (environ 10 décimales),

— avec 8 itérations on obtient une précision de 10⁻¹⁰⁰, (environ 100 décimales),

— avec 11 itérations on obtient une précision de 10⁻¹⁰⁰⁰, (environ 1000 décimales ! !),