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R´esolution approch´ee d’´equations diff´erentielles IUT SGM Y. Morel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

R´ esolution approch´ ee d’´ equations diff´ erentielles

IUT SGM

Y. Morel

http://xymaths.free.fr/

(2)

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

(3)

Principe g´en´eral

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

On appelleprobl`eme de Cauchy une ´equation diff´erentielle associ´ee `a une condition initiale, par exemple,

y = 3y−2 y(0) = 0 y =y2

y(0) = 1 xy−y= 0

y(0) = 1

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Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

On appelleprobl`eme de Cauchy une ´equation diff´erentielle associ´ee `a une condition initiale, par exemple,

y = 3y−2 y(0) = 0 y =y2

y(0) = 1 xy−y= 0

y(0) = 1

Formellement, un probl`eme de Cauchy s’´ecrit

y =ϕ(x, y) y(0) =y0

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Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

On appelleprobl`eme de Cauchy une ´equation diff´erentielle associ´ee `a une condition initiale, par exemple,

y = 3y−2 y(0) = 0

avec ϕ(x, y) = 3y(x)−2 et y0= 0

y =y2 y(0) = 1

avecϕ(x, y) = (y(x))2 et y0= 1

xy−y= 0 y(0) = 1

avec ϕ(x, y) = y(x) et y0= 1 x

Formellement, un probl`eme de Cauchy s’´ecrit

y =ϕ(x, y) y(0) =y0

(8)

Principe g´en´eral Maillage et r´esolution approch´ee

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral Maillage et r´esolution approch´ee

Maillage du domaine

On discr´etise cet intervalle [a;b]avec n+ 1points et un pash :

h h h h h h h h h

a=x0 x1 x2 . . . xn1 b=xn

R´esoudre l’´equation y =ϕ(x, y) signifie d´eterminer la fonctiony, ou encore les valeurs y(x) pour toutx∈[a;b].

La r´esolution approch´ee consiste `a trouver une valeur approch´ee yi =y(xi) aux noeuds du maillage.

Par exemple, pour h= 0,1, on cherchera y0=y(x0) =y(0) y1=y(x1) =y(0,1) y2=y(x2) =y(0,2) . . .

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Principe g´en´eral Approximation de la d´eriv´ee

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral Approximation de la d´eriv´ee

On cherche donc les approximations yi =y(xi) aux noeuds.

En ces noeuds, l’´equation s’´ecrit

y =ϕ(x, y) =⇒yi=ϕ(xi, yi))

Il reste `a approximer yi, cf. ”approximation num´erique de d´eriv´ees” , par exemple, avec un sch´ema d´ecentr´e `a droite :

yi =y(xi) ≃ y(xi+h)−y(xi) h

= yi+1 − yi

h

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Principe g´en´eral ethode d’Euler

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral ethode d’Euler

On obtient la m´ethode d’Euler : yi+1−yi

h ≃yi=ϕ(xi, yi) =⇒ yi+1 =yi+hϕ(xi, yi) Exercice 1 :

On consid`ere l’´equation y+y2 = 0, avec y(0) = 1.

1 R´esoudre cette ´equation (exactement) puis donner la valeur de y(1).

2 Ecrire cette ´equation sous la forme d’un probl`eme de Cauchy´ y=ϕ(x, y) puis, en utilisant la m´ethode d’Euler, calculer une valeur approch´ee de y(1) avec un pash= 0,2

(14)

Principe g´en´eral Int´egration d’une ´equation diff´erentielle

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral Int´egration d’une ´equation diff´erentielle

Une autre mani`ere d’aborder le probl`eme consiste `a int´egrer l’´equation, apr`es maillage :

y =ϕ(x, y) =⇒ Z xi+1

xi

y= Z xi+1

xi

ϕ(x, y)

=⇒yi+1−yi= Z xi+1

xi

ϕ(x, y)

En utilisant la m´ethode des rectangles, `a gauche, on retrouve la m´ethode d’Euler,

yi+1 =yi+hϕ(xi, yi)

On peut utiliser alors toute autre m´ethode d’int´egration num´erique.

Avec la m´ethode des trap`ezes, on obtient la m´ethode d’Euler modifi´ee (am´elior´ee)

yi+1=yi+h 2

ϕ(xi, yi) +ϕ(xi+1, yi+1)

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Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

Les m´ethodes de Runge et Kutta repose sur la formule de Taylor. L’id´ee est la mˆeme que celle vue dans l’approximation num´erique de d´eriv´ees : obtenir une plus grande pr´ecision en combinant et annulant certains termes du d´eveloppement.

Les m´ethodes de Runge-Kutta sont couramment utilis´ees, particuli`erement Runge-Kutta d’ordre 2 (RK2) et Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4)

(18)

Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

RK2 peut ˆetre vue comme une version d’Euler am´elior´ee, car prenant en compte un demi-pas interm´ediaire :

La relation de r´ecurrence s’´ecrit

yi+1=yi+hϕ xi+1

2, yi+1

2

avec

yi+1

2 =yi+h

2ϕ(xi, yi)

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Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Principe g´en´eral ethode de Runge-Kutta

RK4 est une des m´ethodes le plus couramment utilis´ee, car tr`es pr´ecise et efficace.

yi+1=yi+h

Ak0+Bk1+Ck2+Dk3

avec 













k0 =ϕ(xi;yi)

k1 =ϕ xi+h2, yi+h2k0

k2 =ϕ xi+h2, yi+h2k1

k3 =ϕ(xi+h;yi+hk2) cf. TP . . .

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Equations diff´erentielles d’ordre 2

1 Principe g´en´eral Probl`eme de Cauchy

Maillage et r´esolution approch´ee Approximation de la d´eriv´ee M´ethode d’Euler

Int´egration d’une ´equation diff´erentielle M´ethode de Runge-Kutta

RK2 RK4

2 Equations diff´erentielles d’ordre 2

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Equations diff´erentielles d’ordre 2

On peut approximer une solution d’´equation diff´erentielle de tout ordre comme pr´ec´edemment, `a l’aide d’un maillage, puis en approximant les d´eriv´ees.

Exercice 2 :

On consid`ere l’´equation diff´erentielle y”−4y = 0 sur [0; 3], avec les conditions initiales y(0) = 0et y(0) = 2.

1 On se donne un maillage r´egulier de[0; 3] avec un pash : xi=ih et on note yi=y(xi).

Donner une approximation de la d´eriv´ee seconde y” (xi).

2 En d´eduire un sch´ema num´erique d’approximation de l’´equation diff´erentielle y”−4y= 0.

On exprimera yi+1 en fonction de yi et yi1.

3 Pr´eciser les conditions initialesy0 et y1 `a l’aide des conditions initiales de l’´equation.

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