R´esolution de syst`emes lin´eaires
IUT SGM
Y. Morel
2020/2021
http://xymaths.free.fr/
Position du probl`eme
1 Position du probl`eme
2 Cas simples
3 M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
4 M´ethode de Gauss-Jordan
5 Factoristion de Cholesky
Position du probl`eme
Exemple : r´esolution d’un syst`eme lin´eaire n = 3 ´equations et n = 3 inconnues
2x + y − 4z = 8 3x + 3y − 5z = 14 4x + 5y − 2z = 16
ou, ´ecrit sous forme matricielle : AX = B , d’inconnue X =
x y z
,
et avec les matrices A =
2 1 − 4 3 3 − 5 4 5 − 2
et B =
8 14 16
.
Position du probl`eme
Probl`eme g´en´eral, n quelconque (100, 10 6 . . .)
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2
. . .
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a nn x n = b n
ou, sous forme matriciel : AX = B, d’inconnue X =
x 1
x 2
. . . x n
,
avec les matrices A =
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2 n
. . .
a n1 a n2 . . . a nn
et B =
b 1
b 2
. . . b n
Cas simples
1 Position du probl`eme
2 Cas simples
3 M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
4 M´ethode de Gauss-Jordan
5 Factoristion de Cholesky
Cas simples
R´esolution facile lorsque :
A diagonale : A =
a 11 0 . . . 0 0 a 22 . . . 0 . . .
0 0 . . . a nn
alors le syst`eme
AX = B ⇐⇒
a 11 x 1 = b 1
a 22 x 2 = b 2
. . . . . .
a nn x n = b n
se r´esout imm´ediatement : x i = b i /a ii
Cas simples
A triangulaire : A =
a 11 a 12 . . . a 1n
0 a 22 . . . a 2 n
0 0 a 33 . . . a 3 n
. . . . . . 0 0 . . . 0 a nn
alors le syst`eme
AX = B ⇐⇒
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1
0 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2
. . .
. . . a nn x n = b n
se r´esout aussi facilement en comme¸cant par la fin : x n = b n /a nn ,
puis l’´equation pr´ec´edente, d’inconnues x n et x n− 1 , etc . . .
M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
1 Position du probl`eme
2 Cas simples
3 M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
4 M´ethode de Gauss-Jordan
5 Factoristion de Cholesky
M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
Principe du pivot de Gauss : triangulariser A
2x + y − 4z = 8 3x + 3y − 5z = 14 4x + 5y − 2z = 16 1 er pivot : 2
2 x + y − 4z = 8
0 + 3/2y + z = 2 L 2 ← L 2 − L 1 × 3
2
0 + 3y + 6z = 0 L 3 ← L 3 − L 1 × 4
2
M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
2 ` eme pivot : 3 2
2x + y − 4z = 8 0 + 3/2 y + z = 2
0 + 0 + 4z = − 4 L 3 ← L 3 − L 2 × 3
3 2
3 ` eme , et dernier, pivot : 4 .
On r´esout enfin le syst`eme triangulaire, en remontant :
z = 1
4 ( − 4) = − 1
y = 1
3 2
(2 − z) = 2
x = 1
2 (8 − y + 4z) = 1
M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
Algorithme
Pour un syst`eme lin´eaire ` a n ´equations et inconnues : //Triangularisation
Pour i de 1 ` a n − 1
p = a i,i // le pivot Pour j de i + 1 ` a n
c = a j
iPour k de i ` a n
a j,k = a j,k − a i,k × c p Fin
b j +1 = b j − b i × c p Fin
Fin
//Puis la r´esolution : x n = b n /a n,n
Pour i de n − 1 ` a 1 X = b i
Pour k de i + 1 ` a n X = X − a i,k x k Fin
x i = X/a i,i
Fin
M´ethode de Gauss-Jordan
1 Position du probl`eme
2 Cas simples
3 M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
4 M´ethode de Gauss-Jordan
5 Factoristion de Cholesky
M´ethode de Gauss-Jordan
Gauss-Jordan ou variante du pivot de Gauss :
Diagonalisation
2x + y − 4z = 8 3x + 3y − 5z = 14 4x + 5y − 2z = 16
x + 1/2y − 2z = 4 L 1 ← L 1 /2 0 + 3/2y + z = 2 L 2 ← L 2 − 3L 1
0 + 3y + 6z = 0 L 3 ← L 3 − 4L 1
M´ethode de Gauss-Jordan
et on traite la 1`ere et la 3`eme ligne
x + 0 − 7/3z = 10/3 L 1 ← L 1 − 1/2L 2
0 + y + 2/3z = 4/3 L 2 ← L 2
3/2
0 + 0 + 4z = − 4 L 3 ← 3L 2
puis la 2`eme et 1`ere
x + 0 + 0 = 1 L 1 ← L 1 + 7/3L 3
0 + y + 0 = 2 L 2 ← L 2 − 2/3L 3
0 + 0 + z = − 1 L 3 ← L 3 /4
et la solution est sous nos yeux. . .
Factoristion de Cholesky
1 Position du probl`eme
2 Cas simples
3 M´ethode de Gauss (Pivot de Gauss)
4 M´ethode de Gauss-Jordan
5 Factoristion de Cholesky
Factoristion de Cholesky
