Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2007/2008
TP n
o3 : conditionnement, valeurs propres et r´ esolution directe de syst` emes lin´ eaires
Exercice 1 : Conditionnement d’une matrice.
On pose
A=
1001 1000 1000 1001
Donner les valeurs propres et vecteurs propres de A. Quel est le conditionnement de A ? On souhaite r´esoudre le syst`eme Ax =b. Malheureusement, il y a une petite incertitude al´eatoire lors de la mesure etb est remplac´e par une petite perturbationb+ ∆b. A chaque vecteur b de R2, on associe la taille relative de l’erreur commise δ(b) = kA−1(bk+∆A−1b)−bkA−1bk. Tracer le graphique repr´esentant δ(b) en fonction de b. Interpr´eter le r´esultat.
Exercice 2 : De l’int´erˆet d’inventer des m´ethodes de r´esolution.
Donner l’ordre de grandeur du nombre d’op´erations n´ecessaires pour calculer le d´eterminant et l’inverse d’une matrice de nombres r´eels A de taillen×n si on utilise le plus na¨ıvement possible les formules
det(A) = X
σ∈Σn
ε(σ)a1σ(1)a2σ(2)...anσ(n) et A−1 = 1 det(A)
tcom(A) .
Mˆeme question mais en utilisant la d´ecomposition A=LU (m´ethode de Gauss).
Un ordinateur standard effectue de l’ordre de 1010 op´erations par secondes (10 gigaflops).
Comparer les temps n´ecessaires dans le cas d’une matrice 100×100.
Exercice 3 : M´ethode QR.
Soit A ∈ G`n(R) une matrice de colonnes c1,..., cn. On rappelle que la m´ethode QR 1
consiste `a ´ecrireAsous la formeQRavecQunitaire etRtriangulaire sup´erieure `a ´el´ements diagonaux r´eels et positifs et que cette d´ecomposition est unique. Pour cela, on it`ere un algorithme de Gram-Schmidt pour obtenir les relations :
c1 =r11q1
c2 =r12q1+r22q2 ...
cn =r1nq1+. . .+rnnqn
Programmer la d´ecompositionQRet une fonction renvoyant le d´eterminant d’une matrice.
Donner un algorithme utilisant cette m´ethode pour inverser les matrices.
Exercice 4 : Valeurs propres.
1) Programmer la m´ethode de la puissance pour obtenir la valeur propre de plus grand module d’une matrice A ainsi que le vecteur propre associ´e.
2) Si on suppose que A est sym´etrique, utiliser l’algorithme du 1) pour trouver tout le spectre deA.
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