Dans tout le chapitre,Edésigne un espace vectoriel de dimension finien∈N∗.
I. Valeurs propres, vecteurs propres
Définition 1.
Soitf ∈L(E). Soitλ∈R.
On dit queλestvaleur propredefs’il existe un vecteur non nul~u∈Etel quef(~u) =λ~u. On dit alors que~uest unvecteur propredef pour la valeur propreλ.
Définition 2.
SoitA∈ Mn(R). Soitλ∈R.
On dit queλestvaleur propredeAs’il existe un vecteur colonne non nulX∈ Mn,1(R)tel queAX=λX. On dit alors queXest unvecteur propredeApour la valeur propreλ.
Définition 3.
L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphismef ou d’une matriceAest appeléspectre, et notéSp(f)ouSp(A).
Exemple 1.
A= −4 −2
7 5
!
, avec X = 2
−7
! .
Exemple 2.
f(P)(X) =P(X)−(X−2)P0(X), avec P0(X) = 1, P1(X) =X−2, P2(X) = (X−2)2.
Théorème 1. lien endomorphisme - matrice
Soitf ∈L(E). SoitBune base deE, etA=matB(f). Alors : 1. λest valeur propre def ssiλest valeur propre deA.
2. ~uest vecteur propre def associé àλssi le vecteur colonneX associé à~udans la baseBest vecteur propre deA associé àλ:
f(~u) =λ~u ⇐⇒ AX=λX
Remarque.
La recherche des valeurs propres d’un endomorphisme pourra donc se faire via sa matrice dans une base donnée.
Exemple 3.
f l’endomorphisme deR3de matriceA=
7 3 −9
−2 −1 2
2 −2 −5
, avec ~u=
3,−1,1 .
Théorème 2.
Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) λest valeur propre def
(ii) Ker(f−λId)6={0E} (iii) f −λIdn’est pas injective
Théorème 3.
Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) λest valeur propre deA
(ii) Ker(A−λIn) ={X ∈ Mn,1(R)|(A−λIn)X= 0} 6={0}
(iii) A−λInn’est pas inversible
Conséquence.
En particulier :
1. Soitf ∈L(E). Le réel0est valeur propre defssif n’est pas bijective.
2. SoitA∈ Mn(R). Le réel0est valeur propre deAssiAn’est pas inversible.
Exemple 4.
A= 1 −3
−2 6
! .
Théorème 4.
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Démonstration.
T−λInn’est pas inversible dès queλest l’un des coefficients diagonaux deT, annulant le coefficient correspondant deT−λIn.
Exemple 5.
A= 3 7 0 2
! .
Théorème 5.
1. Soitf ∈L(E), etP un polynôme annulateur def. Alors, toute valeur propre defest racine deP. 2. SoitA∈ Mn(R), etPun polynôme annulateur deA. Alors, toute valeur propre deAest racine deP.
Démonstration.
Exemple 6.
A= −4 −2
7 5
!
avec P(X) =X2−X−6.
Exemple 7.
A=
2 −2 1 2 −3 2
−1 2 0
avec P(X) =X2+ 2X−3.
Remarque.
Lorsque l’on a déterminé un polynôme annulateur, les valeurs propres sont donc à rechercher parmi les racines de celui-ci.
Attention ! Toutes les racines d’un polynôme annulateur ne sont pas nécessairement valeurs propres !
En effet, tout polynôme multiple d’un polynôme annulateur est également un polynôme annulateur, mais il peut très bien posséder d’autres racines. (il suffit de multiplierPparX−α, avecαréel quelconque, pour s’en convaincre.)
II. Sous espaces propres
Définition 4.
1. Soitf ∈L(E)etλ∈Sp(f). Lesous espace propreassocié à la valeur propreλest : Eλ(f) ={~u∈E / f(~u) =λ~u}
2. SoitA∈ Mn(R)etλ∈Sp(A). Lesous espace propreassocié à la valeur propreλest : Eλ(A) ={X ∈ Mn,1(R)/ AX =λX}
Remarque.
S’il n’y a pas d’ambiguité, on notera simplementEλ.
Théorème 6.
1. Eλ(f)est un sous espace vectoriel deE. On aEλ(f) =Ker(f−λId)
2. Eλ(A)est un sous espace vectoriel deMn,1(R). On aEλ(A) =Ker(A−λIn)
Démonstration.
Le noyau d’une application linéaire est un s.e.v. de l’e.v. de départ (cf CH1.) Exemple 8.
Sous-espaces propres de A=
2 −2 1 2 −3 2
−1 2 0
.
III. Bases de vecteurs propres
Remarque.
Dans cette section, les notions s’appliquent aussi bien aux endomorphismes qu’aux matrices.
Théorème 7.
Soitλ1, ..., λpdes valeurs propres distinctes, etu1, ..., updes vecteurs propres associés à celles-ci.
Alors, la famille(u1, ..., up)est libre.
Conséquence.
Un endomorphisme d’un e.v. de dimensionn(et donc une matrice carrée d’ordren) admet au plusnvaleurs propres.
Conséquence.
Si les valeurs propresλ1, ..., λn sont toutes distinctes, etu1, ..., unsont des vecteurs propres associés à celles-ci, alors, la famille(u1, ..., un)est une base deE.
Théorème 8.
Soitλ1, ..., λpdes valeurs propres distinctes, etB1, ...,Bpdes bases des espaces propres associés à celles-ci.
Alors, la famille obtenue en concaténantB1, ...,Bpest libre.
IV. Endomorphisme ou matrice diagonalisable
Définition 5.
1. Soitf ∈L(E). On dit quef estdiagonalisables’il existe une base deEformée de vecteurs propres def.
2. Soit A ∈ Mn(R). On dit que A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, ie il existeD diagonale etPinversible telles queA=P DP−1(ouD=P−1AP).
Théorème 9.
Un endomorphismef est diagonalisable ssi il existe une base deEdans laquelle sa matrice est diagonale.
Théorème 10.
Un endomorphismef est diagonalisable ssi sa matrice dans une base quelconque deEest diagonalisable.
Théorème 11.
Si une matriceAest diagonalisable, alors lorsqu’on la diagonalise, on obtient une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres deA. L’ordre de ces coefficients et l’ordre des vecteurs propres (colonnes) de la matrice de passage sont les mêmes.
Remarque.
En vertu de la formule de changement de base, les colonnes dePforment une base deMn,1(R)constituée de vecteurs propres deA.
Exemple 9.
f(P)(X) =P(X)−(X−2)P0(X), dans la base (1, X−2,(X−2)2).
En notant P0(X) = 1, P1(X) = X−2 et P2(X) = (X −2)2, on a vu dans le CH3. que f(P0) = P0, f(P1) = 0 et f(P2) =−P2.
Ceci signifie que−1,0et1sont des valeurs propres def, et commedim(R2[X]) = 3, que ce sont les seules.
Pareillement, la somme des dimensions des sous-espaces propres ne pouvant excéder 3 (voir partie ci-après), on a aussi :
E1(f) =V ect(P0), E0(f) =V ect(P1) et E−1(f) =V ect(P2).
On a aussi montré queB0= (P0, P1, P2)est une base deR2[X], et que dans cette base, on a :
matB0(f) =
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
. f est donc bien diagonalisable.
Exemple 10.
A=
5 1 3 0 5 4 0 0 5
n’est pas diagonalisable. Raisonnons par l’absurde.
Etant triangulaire, sa seule valeur propre est5.
Dans une base de vecteurs propres, sa matrice devrait donc être5I3.
NotantP la matrice de passage, on obtient cependant P(5I3)P−1= 5I36=A. Contradiction.
V. Conditions de diagonalisation
Remarque.
Rappelons les hypothèses : f∈L(E), avecdim(E) =n, ou bien A∈ Mn(R).
Théorème 12. condition suffisante de diagonalisabilité
Sif (resp.A) admetnvaleurs propres distinctes, alorsf(resp.A) est diagonalisable.
Exemple 11.
A=
5 1 3
0 2 4
0 0 −3
est diagonalisable, car triangulaire, avec ses valeurs propres sur la diagonale (distinctes).
Théorème 13. condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité Soitλ1, ..., λkles valeurs propres distinctes def (ou deA). Alors :
f (ouA) est diagonalisable ssi
k
X
j=1
dim(Eλj) =n.
Exemple 12.
A=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
est diagonalisable, semblable à D=
2 0 0 0 2 0 0 0 5
.
Les valeurs propres sont sous-entendues parD: ce sont ses coefficients diagonaux,2et5. On détermine donc les sous-espaces propres associés.
PourE2(A), on résout :
(A−2I3)
x y z
=
0 0 0
⇐⇒ x+y+z= 0 ⇐⇒ z=−x−y.
Donc, E2(A) =V ect
1 0
−1
;
0 1
−1
.
De la même manière, on trouve E5(A) =V ect
1 1 1
.
On a donc dim(E2(A)) +dim(E5(A)) = 2 + 1 = 3, qui est la taille de la matriceA, donc en vertu de la CNS, ceci prouve bien queAest diagonalisable.
En prenant comme matrice de passage P =
1 0 1
0 1 1
−1 −1 1
, dont les colonnes sont les bases de vecteurs propres précédemment trouvées, la formule de changement de base permet de dire que D=P−1AP. (à vérifier !)
Définition 6.
Une matriceA∈ Mn(R)est ditesymétriquesi tA=A.
Exemple 13.
On considère la matrice A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
1. Est-elle diagonalisable ? 2. Est-elle inversible ?
3. CalculerA2, et en déduire un polynôme annulateur deA. 4. Déterminer les valeurs propres deA.
5. DiagonaliserA. solution :
1. Aest symétrique donc diagonalisable.
2. Aa toutes ses colonnes identiques donc n’est pas inversible (etrg(A) = 1).
3. A2= 3A, ie A2−3A= 03, donc un polynôme annulateur estP, défini par P(X) =X2−3X.
4. P(X) =X(X−3), s’annulant pour0et3.
A ce stade, ces deux nombres sont des candidats pour être valeurs propres. On s’assure qu’elles le sont bien en trouvant des vecteurs propres (non nuls).
La résolution est alors quasi-similaire à celle de l’exemple précédent (un hasard...).
5. Aest semblable à
0 0 0 0 0 0 0 0 3
