Universit´e Paris 7–Denis-Diderot Ann´ee 2002–2003 MT 241
Probl`eme no 4 Exercice I On consid`ere la matrice
A =
0 1 1 −1
1 0 −1 1
0 0 a 1−a
0 0 1−a a
o`u a est un param`etre complexe.
a. Calculer les valeurs propres de la matrice A. D´eterminer les valeurs du coefficient a pour lesquelles la matrice A est diagonalisable. Dans le cas o`u A est diagonalisable, d´eterminer une matrice inversible V telle que V−1AV soit diagonale.
b. Dans cette question, on suppose que a = 0. D´eterminer une matrice inversible V telle que T = V−1A V soit triangulaire sup´erieure de la forme
T =
1 b 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 c
0 0 0 −1
o`u les deux coefficients b et csont `a d´eterminer.
Exercice II
Soit A une matrice diagonalisable de Mn(K) ; on consid`ere l’endomorphisme de Mn(K)
fA: Mn(K)−→ Mn(K)
X −→ fA(X) = AX−XA.
a. On se propose de montrer quefAest diagonalisable. SoitB ={e1, . . . , en}la base canonique de Kn et B0 ={v1, . . . , vn} une base de vecteurs propres de l’endomorphisme de Kn ayant A pour matrice relativement `a la baseB; on note Ei (resp. Vi), 1≤i≤n, la matrice colonne des coordonn´ees du vecteur ei (resp. vi) relativement `a la base B :
∀i∈ {1, . . . , n}, ∃αi ∈K, AVi =αiVi. i) Soit {Ei,j}1≤i≤n
1≤j≤n la base canonique de Mn(K) et P ∈ GLn(K) la matrice dont la i-i`eme colonne est ´egale `a Vi (PEi = Vi), 1 ≤ i ≤ n; montrer que les matrices Vi,j = PEi,jP−1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, forment une base de Mn(K) et v´erifient les relations
∀(i, j, k)∈ {1, . . . , n}3, Vi,jVk =δj,kVi o`u δj,k = 0 si k 6=j et δj,j = 1 (Indication :
∀(i, j, k)∈ {1, . . . , n}3, Ei,jEk =δj,kEi).
1
ii) D´emontrer
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2, fA(Vi,j) = (αi−αj) Vi,j. Conclure.
b. Application : d´eterminer le commutant de A,
C(A) ={X∈Mn(K) : AX = XA}.
C’est un sous-espace vectoriel de Mn(K) dont on fournira la dimension (indication : si n´ecessaire, r´eindexer la base de vecteurs propres B0 de sorte que, si λ1 de multiplicit´e m1, . . . , λk de multiplicit´e mk sont les k valeurs propres distinctes de la matrice A (P
1≤`≤k m` =n), on ait
∀` ∈ {1, . . . , k}, ∀j ∈ {1 + X
1≤s≤`−1
ms, . . . , X
1≤s≤`
ms}, αj =λ`).
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