Brève communication. Sur la séparation des valeurs propres d'une matrice positive

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R EVUE FRANÇAISE D ’ INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE . S ÉRIE ROUGE

J. F. M AITRE

Brève communication. Sur la séparation des valeurs propres d’une matrice positive

Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle. Sé- rie rouge, tome 4, n^oR3 (1970), p. 118-124

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(4e année, R-3, 1970, p. 118- 124)

SUR LA SEPARATION DES VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE POSITIVE

par J. F. MAÎTRE (*)

Résumé. — On montre que, pour une matrice positive ( > 0), telle que A*p = pp, avec

> 0 (p : rayon spectral), /es valeurs propres X distinctes de p satisfont

|X| < min {p — m% Af* — P } < P __ ~ " v

v •* Az -+• nf avec

Ce résultat nouveau est comparé aux bornes déjà obtenues par différents auteurs (Ostrowski, Hopf, Bauer-Deutsch-Stoer, Lynn-Timfake, Schaeffer).

L INTRODUCTION

L'étude des principales propriétés des matrices positives a été entreprise au début du siècle (Frobenius [5], Perron [14]), puis complétée et élargie dans le cadre plus général des opérateurs positifs dans un espace ordonné, notamment par Krein et Rutman [7], ainsi que Schaefer dont le livre [15] expose les princi- paux résultats et donne une bibliographie récente. Le livre de Varga [17] et celui de Marcus et Mine [11] comportent un exposé assez complet des pro- priétés des matrices positives.

Le présent travail, inspiré par un article récent de Schaefer [16], donne une nouvelle borne pour le module des valeurs propres distinctes de la « racine de Perron », qui est toujours meilleure que celle donnée dans cet article. Nous avons jugé utile de compléter cette étude par une comparaison de ce résultat, avec ceux obtenus par Ostrowski [12], [13], Hopf [6], Bauer-Deutsch-Stoer [2], [4] et Lynn-Timlake [8], que nous commençons par rappeler en uniformisant les notations.

(1) Institut de Mathématiques Appliquées, Grenoble.

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J.-F. MAITRE 119

n . RAPPEL DES PRINCIPALES BORNES ET DES METHODES UTILISEES

Avant d'énumérer les différents résultats (dans Tordre chronologique), donnons quelques précisions de vocabulaire et de notation. Un vecteur x ou une matrice À sont dits positifs (x ^ 0, A ^ 0) si toutes leurs composantes sont positives, et strictement positives (x > 0, A > 0) si toutes les composantes sont strictement positives. On notera |JC| le vecteur de composantes \xt\, ç>(A) ou p le rayon spectral de A.

On sait qu'une matrice positive A admet p comme valeur propre avec un vecteur propre positif; on notera/? le vecteur correspondant à A* :

(1) A*p = pp.

Dans 2.1 à 2.4, A est supposée strictement positive et donc p > 0. Dans 2.5 on suppose p strictement positif, avec A seulement positive.

Les bornes données pour les valeurs propres X(X # p) sont soit du type

W l |

(2) VX(^) #⁹(A) : |X| ^ n = p . a . Nous utiliserons enfin les notations suivantes :

(3) Mt = max au mt = min atJ M — max Mt m = min mi j J' i i

(4) M[ = max — m\ — min — M' — max M[ m' = min wj, (5) M ' -

2.1 Ostrowski a fondé ses résultats sur la considération du nombre (6) supinf {a; \Ax\ < QLA \X\}

x±p

qui est égal à

f l v li \ *

max I — I — 1 (7) max —' + 1

(M'A

aax I —

« \m'il

II a déduit de ce résultat des bornes plus larges, mais ne faisant pas interve- nir le vecteur p :

M l Mt

— max '

— max m i \ m

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2.2 Hopf a établi ses résultats pour des opérateurs intégraux positifs, en considérant le nombre

g>O,f OSC(f/g)

où osc (x/y) désigne l'oscillation de x par rapport à y, notion qui peut être étudiée dans le cadre général des espaces ordonnés [1]. Dans le cas de l'espace /?"

et des matrices, on a :

(10) osc (x/y) = max — }- , y > 0, et les résultats de Hopf s'écrivent :

(11) (12)

k — 1 r 2 Qikan M — m , .

°4 = 7—T~T a v e c * — m a x ' et <s5 — -—— (<r5 ^ a4) .

*C + 1 i>j,k,l ailajk M -\- m

2.3 Deutsch s'est placé dans le cadre général des espaces ordonnés loca- lement convexes. Sa majoration a été obtenue en considérant la norme de la restriction à un sous-espace invariant de l'opérateur A; la boule unité dans ce sous-espace étant construite à partir d'une section parallèle du cône positif [4].

Il a été heureusement montré par la suite [2] qu'il était équivalent de considérer le nombre

(13) s u p£ ! l ^ j W Q, défini par (1)),

X O S C \XIP)

qui, dans le cas fini des matrices donne la borne

Nous avions obtenu indépendamment le même résultat pour une classe plus large de matrices en utilisant des semi-normes [9], et avons ensuite montré l'équivalence existant avec l'oscillation [10].

2.4 Lynn et Timlake, en utilisant le fait que les valeurs propres de A sont aussi valeurs propres de A — xp\ pour tout x, ont donné, entre autres, les bornes

(15) j*7 = p — m*—* y [i8 = p — m— • i

où n est Tordre de la matrice et s désigne min J ] a^.

i J

On peut remarquer que la quantité p — ^] Pfn'h 90^ ^s t u*1 élément de notre

i

résultat (18), apparaît comme intermédiaire dans leur démonstration.

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J.-F. MAITRE 121

2.5 Schaefer a également considéré des perturbations de rang 1, mais en se limitant à la seule direction ep\ avec é = (1, 1,..., 1). L'encadrement le plus fin du type aep* ^ A ^ $ep\ qui correspond à a = m', p = M ' et le lemme du § 3 ont conduit aux résultats

{

/ V **t V 1 M' — m' 9 — ™-hPk>M'*2jPk — 9 \ > aio=— ;>

k k J M + m'

(16) ((x9 ^ (x1 0).

m . UNE NOUVELLE BORNE

Rappelons d'abord une propriété, déjà utilisée par Schaefer, et facile à démontrer :

Lemme

Si A est une matrice positive ( ^ 0 ) admettant un vecteur propre p stricte- ment positif (> 0), alors :

(17) Ap - 9(A)p.

Notre résultat s'énonce comme suit.

Théorème

Pour une matrice A positive ( ^ 0), telle que A*p = pp avec p > 0, les valeurs propres différentes de p satisfont

(18) |X| ^ min { p — m\ M" — p } = n u , avec la borne plus large :

(19) y.l2^(M"-m")I(M"+m") (cf. Notation (5)).

Démonstration. — Les valeurs propres de A différentes de p sont aussi valeurs propres des matrices

B = A — $xpf et C = yxp* — A, avec (20) Bfp - (p - p*ÏO/>,

Si les matrices 5 , C sont positives, les valeurs apparaissant dans (20) sont leurs rayons spectraux et donc :

(21) X ^ p ^ |X| ^ min{p — $*p9yjtp — p } ;

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cela sera possible pour des valeurs finies (3, y si x > 0, et, pour x fixé, la meilleure majoration sera obtenue pour :

p , = sup { $;A — $xp* > 0 } = min -^L = m i n ^ , (22) iJ XiPj l XiXP X

Yx = inf { y; y V — A > 0 } = max ^L = max - - i .

II reste à optimiser par rapport à x que l'on peut normaliser en imposant x*p = 1 ; les valeurs optimales sont

= sup{ p^x;x :

i

y⁰ = inf { y; x > O et x^fp = 1 } = Les dernières égalités résultent des relations :

min — ^ ^ et max

* Xk L,Pi*i fc

les égalités pouvant être atteintes respectivement pour x

et x =

La borne jx12 est une simple conséquence de l'inégalité : VÛT, b € R* et r € R : min {r — a, b — r} < j — — • r.

REMARQUES

On aurait pu limiter la démonstration au cas des matrices stochastiques en colonnes (p = e), puisque pour A > 0 avec A*p ~ pp, p > 0, la matrice (23) >T = — . DpAD; * (Dp diagonale avec (DP)H = p^

est stochastique en colonnes.

On peut d'ailleurs obtenir d'autres bornes en appliquant certains résultats du paragraphe 2 h A'.

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J.-F. MAITRE 123

IV. COMPARAISON DES DIFFERENTS RESULTATS

Nous ne comparerons deux bornes que sur l'ensemble de toutes les matrices positives, et nous noterons (fig. 1) si la borne y,i est toujours au moins aussi

©—<D

Figure 1

bonne que la borne ^ (y.j = po,- pour les bornes données par a). Nous pouvons ainsi résumer les relations existant entre les diverses bornes par le graphe :

Figure 2

N.B. — Nous avons mis en évidence par un cercle doublé les formules nécessitant, dans le cas général, la connaissance du vecteur/?. Nous laissons au lecteur la vérification de ces relations.

BIBLIOGRAPHIE

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