Bornes sur la variance des valeurs propres de matrices de Wigner

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Bornes sur la variance des valeurs propres de matrices de Wigner

Sandrine Dallaporta

Institut de Mathématiques de Toulouse

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Modèle

Valeurs propres individuelles

Dénition

Une matrice hermitienne aléatoire M_N de taille N est une matrice de Wigner si :

les parties réelles et parties imaginaires des(M_N)_ij sont iid, ont une moyenne nulle et une variance égale à ¹₂ (pour i <j), ses coecients diagonaux sont iid, ont une moyenne nulle et une variance 1. Ils sont indépendants des coecients non diagonaux.

Normalisation : W_N = ^√1

NM_N.

N valeurs propres réelles :λ₁ 6· · ·6λ_N.

Hypothèse technique : décroissance exponentielle de la loi des

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Modèle

Valeurs propres individuelles

Dénition (Exemple important de matrices de Wigner)

Si MN est une matrice de Wigner dont les coecients suivent une loi gaussienne, alors M_N appartient au GUE (Gaussian Unitary Ensemble).

La loi jointe des valeurs propres est alors explicitement connue (ce qui n'est pas vrai dans le cas général) :

C_N1λ₁6λ26···6λ_N

Y

i<j

(λ_j −λ_i)² YN i=1

e^−λ2i/2dλ_i. Processus déterminantal, polynômes orthogonaux.

=⇒Étude complète du spectre possible.

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Modèle

Valeurs propres individuelles

Dénition (Exemple important de matrices de Wigner)

Si MN est une matrice de Wigner dont les coecients suivent une loi gaussienne, alors M_N appartient au GUE (Gaussian Unitary Ensemble).

La loi jointe des valeurs propres est alors explicitement connue (ce qui n'est pas vrai dans le cas général) :

C_N1λ₁6λ26···6λ_N

Y

i<j

(λ_j−λ_i)² YN i=1

e^−λ2i/2dλ_i. Processus déterminantal, polynômes orthogonaux.

=⇒Étude complète du spectre possible.

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Modèle

Valeurs propres individuelles

Dénition (Exemple important de matrices de Wigner)

Si MN est une matrice de Wigner dont les coecients suivent une loi gaussienne, alors M_N appartient au GUE (Gaussian Unitary Ensemble).

La loi jointe des valeurs propres est alors explicitement connue (ce qui n'est pas vrai dans le cas général) :

C_N1λ₁6λ26···6λ_N

Y

i<j

(λ_j−λ_i)² YN i=1

e^−λ2i/2dλ_i. Processus déterminantal, polynômes orthogonaux.

=⇒Étude complète du spectre possible.

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Modèle

Valeurs propres individuelles

Théorème (Wigner, 1955) µ_N = 1

N

N

X

k=1

δλ_k −→

N→∞ρ_sc p.s.

Dénition

La loi semicirculaire est la mesure de probabilité surRde densité dρ_sc(x) = 1

2π

p4−x²1|x|<2.

La position théorique de la j^ème valeur propre γ_j est dénie par

Nj =Rγ_j

−2dρ_sc(x).

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Modèle

Valeurs propres individuelles

Soitη >0 xé.

Valeurs propres dans le bulk :λ_j avecηN 6j 6(1−η)N.

λ_j −γ_j →0 p.s.

Théorème (Gustavsson 2005, Tao et Vu 2011) Soitη >0 xé. Pour tout ηN 6j 6(1−η)N,

λ_j −γ_j r log N

8(4−γ_j²)N²

N→+∞→ N(0,1).

A-t-on Var(λ_j)6C(η)^{log N}_N2 pour tout N ?

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Modèle

Valeurs propres individuelles

Soitη >0 xé.

Valeurs propres dans le bulk :λ_j avecηN 6j 6(1−η)N.

λ_j −γ_j →0 p.s.

Théorème (Gustavsson 2005, Tao et Vu 2011) Soitη >0 xé. Pour tout ηN 6j 6(1−η)N,

λ_j −γ_j r log N

8(4−γ_j²)N²

N→+∞→ N(0,1).

A-t-on Var(λ_j)6C(η)^{log N}_N2 pour tout N ?

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Cas gaussien Cas général

Fonction de comptage des valeurs propresN_t =P_N

i=11λ_i6t. Processus déterminantal=⇒ N_t suit une loi binomiale.

P |N_t−Nρ_sc (−∞,t]

|>u+C

62 exp

− u² c log N+u

.

Proposition (Inégalité de déviation pourλ_j)

Il existe des constantes C1>0, C2 >0, C3>0 and C4 >0 (toutes dépendant deη) telles que, pour tout C₃6u 6C₄N,

P

|λ_j −γ_j|> u N

64 exp

− C₁²u² C₂log N+C₁u

.

=⇒ E

(λ_j −γ_j)²

6C(η)log N N² .

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Cas gaussien Cas général

Fonction de comptage des valeurs propresN_t =P_N

i=11λ_i6t. Processus déterminantal=⇒ N_t suit une loi binomiale.

P |N_t−Nρ_sc (−∞,t]

|>u+C

62 exp

− u² c log N+u

.

Proposition (Inégalité de déviation pourλ_j)

Il existe des constantes C1>0, C2 >0, C3>0 and C4 >0 (toutes dépendant deη) telles que, pour tout C₃6u 6C₄N,

P

|λ_j −γ_j|> u N

64 exp

− C₁²u² C₂log N+C₁u

.

=⇒ E

(λ_j −γ_j)²

6C(η)log N N² .

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Cas gaussien Cas général

Théorème (Erdös-Yau-Yin, 2010)

Il existe des constantes C >0 et c >0 telles que, pour tout ηN 6j 6(1−η)N,

P

|λ_j−γ_j|> (log N)C log log N

N

6δ_N, pour N assez grand, avecδ_N =C exp[−(log N)c log log N].

=⇒ E

(λ_j −γ_j)²

6 (log N)2C log log N

N² .

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Cas gaussien Cas général

Théorème (Erdös-Yau-Yin, 2010)

Il existe des constantes C >0 et c >0 telles que, pour tout ηN 6j 6(1−η)N,

P

|λ_j−γ_j|> (log N)C log log N

N

6δ_N, pour N assez grand, avecδ_N =C exp[−(log N)c log log N].

=⇒ E

(λ_j −γ_j)²

6 (log N)2C log log N

N² .

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Cas gaussien Cas général

Théorème (Tao et Vu, 2011)

Il existe une constante c₀>0 telle que la proposition suivante est vraie.

Soient M_N and M_N⁰ deux matrices de Wigner dont les coecients ont les mêmes 4 premiers moments.

On pose WN = ^√1

NMN et W_N⁰ = ^√1

NM_N⁰ . Soit G :R→Rune fonction lisse vériant :

∀ 06j 65, ∀x ∈R, |G^(j)(x)|6N^c0. Alors, pour tout 16j 6N et pour N assez grand,

E[G(Nλ_j)]−E[G(Nλ⁰_j)]

6N^−c0. G troncature de x 7→(x−Nγ_j)².

=⇒ E

(λ_j −γ_j)²

6C(η)log N N² .

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Cas gaussien Cas général

Théorème (Tao et Vu, 2011)

Il existe une constante c₀>0 telle que la proposition suivante est vraie.

Soient M_N and M_N⁰ deux matrices de Wigner dont les coecients ont les mêmes 4 premiers moments.

On pose WN = ^√1

NMN et W_N⁰ = ^√1

NM_N⁰ . Soit G :R→Rune fonction lisse vériant :

∀ 06j 65, ∀x ∈R, |G^(j)(x)|6N^c0. Alors, pour tout 16j 6N et pour N assez grand,

E[G(Nλ_j)]−E[G(Nλ⁰_j)]

6N^−c0. G troncature de x 7→(x−Nγ_j)².

2 log N

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Théorème (Wigner, 1955) µ_N = 1

N

N

X

k=1

δλ_k −→

N→∞ρ_sc p.s.

Vitesse de convergence ?

Dénition (Distance de Wasserstein d'ordre 2) W₂(µ, ν) =

infZ

R²

|x −y|²dπ(x,y)₁/2

,

où l'inmum est pris sur toutes les mesures de probabilitéπ surR² de marginalesµet ν.

Borne sur E

W2(µ_N, ρ_sc)

?

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Théorème (Wigner, 1955) µ_N = 1

N

N

X

k=1

δλ_k −→

N→∞ρ_sc p.s.

Vitesse de convergence ? Dénition (Distance de Wasserstein d'ordre 2)

W₂(µ, ν) = infZ

R²

|x −y|²dπ(x,y) _1/2

,

où l'inmum est pris sur toutes les mesures de probabilitéπ surR² de marginalesµet ν.

Borne sur E

W2(µ_N, ρ_sc)

?

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Proposition

Il existe une constante universelle C >0 telle que W₂²(µ_N, ρ_sc)6 2

N XN j=1

(λ_j −γ_j)²+ C N² p.s.

Corollaire

Il existe une constante universelle C >0 telle que, pour tout N >2, E

W₂²(µ_N, ρ_sc)

6Clog N N² .

Matrices de Wigner et variance des valeurs propres Schéma de la démonstration Taux de convergence

Proposition

Il existe une constante universelle C >0 telle que W₂²(µ_N, ρ_sc)6 2

N XN j=1

(λ_j −γ_j)²+ C N² p.s.

Corollaire

Il existe une constante universelle C >0 telle que, pour tout N >2, E

W₂²(µ_N, ρ_sc)

6Clog N N² .

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