de moyenne m i et de matrice de variance covariance Γ i (i = 1, 2). On suppose que rang Γ 2 ≥ rang Γ 1 .

Mod`ele gaussien

TD2-MAPI3 2016-2017

1 Simulation d’un vecteur gaussien

Pour 1 ≤ d ₁ ≤ d ₂ , soit X _i un vecteur gaussien de R ^d

de moyenne m _i et de matrice de variance covariance Γ _i (i = 1, 2). On suppose que rang Γ ₂ ≥ rang Γ ₁ .

1. Montrer que l’on peut obtenir une r´ ealisation de mˆ eme loi que X 1 ` a partir d’une r´ ealisation de X 2 . 2. Dans le cas o` u m 2 = 0 et Γ 2 est l’identit´ e mettre en place deux m´ ethodes pour obtenir une r´ ealisation de

mˆ eme loi que X 1 ` a partir de X 2 .

2 Pr´ evision

Soit X un vecteur gaussien de R ³ de moyenne m := (m 1 , m 2 , m 3 ) ^T et de matrice de variance covariance Γ :=





σ ₁ ² c 2 c 3

c 2 σ ₂ ² ρσ 2 σ 3

c 3 ρσ 2 σ 3 σ ₃ ²



 .

On suppose det Γ 6= 0.

1. Montrer que la matrice ˜ Γ :=

σ ₂ ² ρσ 2 σ 3

ρσ ₂ σ ₃ σ ₃ ²

est de rang plein.

2. Calculer ˜ Γ ⁻¹ .

3. Donner le pr´ edicteur optimal de X 1 lorsque l’on observe seulement (X 2 , X 3 ) ^T .

4. Un agriculteur argentin a mod´ elis´ e les temp´ eratures (T 1 , T 2 , T 3 ) ^T , moyenn´ ees sur un journ´ ee mesur´ ees en trois points de son hacienda comme un vecteur gaussien d’esp´ erance (25, 25, 25) ^T et de matrice de variance covariance

4





1 −ρ ρ ²

−ρ 1 −ρ ρ ² −ρ 1



 .

Un jour T ₁ ne peut pas ˆ etre mesur´ ee mais T ₂ vaut 26 et T ₃ vaut 25. On suppose que ρ = 0.5 donner une pr´ ediction pour T ₁ .

3 Filtre de Kalman

Soit X 0 une variable al´ eatoire gaussienne de moyenne x 0 ∈ R et de variance σ ² _x . Soit (ε n ) une suite de variables gaussiennes i.i.d. centr´ ees de variance σ ² _ε ind´ ependantes de X 0 . Pour n ∈ N , on consid` ere le syst` eme dynamique suivant :

X n+1 = X n

Y n = X n + ε n

a) Ecrire l’´ equation de Riccati associ´ e au filtre de Kalman pour ce syst` eme dynamique. R´ esoudre explicite- ment cette ´ equation.

b) Soit n ∈ N , d´ eduire de la question pr´ ec´ edente l’expression, sous forme r´ ecursive, du pr´ edicteur X d n ⁻ obtenu

`

a partir des observation Y ₀ , Y ₁ , . . . , Y _n .

c) R´ esoudre l’´ equation trouver dans la question b). C’est-` a-dire, exprimer X d n <sup>−</sup> ` a partir de Y 0 , Y 1 , . . . , Y n et des param` etres x 0 , σ _x ² , σ ² _ε .

d) Que se passe-t-il si l’on suppose que σ _x ² tend vers +∞. Commenter ce r´ esultat.

1

4 Oscillateur

Pour ω > 0, on consid` ere l’´ equation diff´ erentielle mod´ elisant les oscillations d’un ressort:

x ⁰⁰ (t) = −ω ² x(t), x(0) = 0, x ⁰ (0) = 1, (t ∈ R ). (1) On pose y(t) :=

x(t) x ⁰ (t)

.

1. Montrer que l’on peut r´ e´ ecrire l’´ equation (1) sous la forme d’un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles

y ⁰ (t) = Ay(t), y(0) = y 0 . (2)

2. Expliciter les quantit´ es A et y ₀ . Calculer, pour t ∈ R , la matrice exp(tA).

3. Soit h > 0 un pas de discr´ etisation. Pour n ∈ N , on consid` ere le syst` eme dynamique discret z _n+1 = Bz _n + σε _n

w n = x(nh) + δη n

(3) Ici (ε n ) est une suite i.i.d. de vecteurs gaussiens standard de R ² ind´ ependante de la suite i.i.d. de gaussiennes standard (η n ). σ et δ sont des r´ eels strictement positifs et B := exp(hA). On suppose que l’on observe uniquement la suite (w n ). Construire le filtre de Kalman permettant la pr´ ediction de la seconde composante de z n . Comparer ` a la solution de l’´ equation diff´ erentielle.

5 Processus AR(1)

Soit θ ∈ R avec |θ| < 1. Soit X 0 une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee de variance (1 − θ ² ) ⁻¹ et (ε n ) une suite i.i.d. de gaussiennes standard. On suppose que la suite (ε n ) et X 0 sont ind´ ependantes. Pour n ∈ N , on pose

X n+1 = θX n + ε n+1 .

1. Pour n ≥ 1, ´ ecrire la densit´ e jointe de X 0 , ε 1 , . . . , ε n . Calculer la densit´ e jointe de X 0 , X 1 , . . . , X n . 2. Simuler des trajectoires du processus (X n ) par deux m´ ethodes diff´ erentes.

2