Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche
Analyse complexe 21 avril 2016
Feuille 8
Holomorphie sous l’int´egrale
Exercice 1. Fonction Γ i) Pour α >0, montrer que
Z +∞
0
e−xαdx est bien d´efinie et l’exprimer avec la fonction Γ.
ii) Calculer en fonction de Γ0 l’int´egrale Z +∞
0
lnt t1/3e−tdt.
Exercice 2. Prolongement analytique Soit α >0. On pose
f(t, z) = tα−1e−t 1−ze−t i) Montrer queIα:z7→R+∞
0 f(t, z) dtest bien d´efinie sur Ω :=C\[1; +∞[.
ii) SoitK un compact de Ω : trouver une fonction gK : ]0; +∞[→ R+ int´egrable sur ]0; +∞[
et v´erifiant
∀z∈K, ∀t∈]0; +∞[, |f(t, z)| ≤gK(t) En d´eduire que Iα est holomorphe sur Ω.
iii) V´erifier que la s´erie enti`ere Xzn
nα a pour rayon de convergence 1. On note F sa somme : montrer que pour toutz∈Ctel que|z|<1,F(z) = z
Γ(α)Iα(z).
iv) En d´eduire que F admet un prolongement analytique ˜F `a Ω, et que ce prolongement ana- lytique est maximal (on pourra montrer que ˜F(x+iε)−F(x˜ −iε) = Γ(α)2iε R+∞
0
tα−1et (et−x)2+ε2dt pour x >1 ne tend pas vers 0 quand ε→0+).
Exercice 3. Densit´e
Soitf :R→Rune fonction mesurable [continue] non nulle pp, on suppose qu’il existeδ >0 tel quef(x) =
±∞O(e−δ|x|). On cherche `a montrer que Vect(xnf)n∈N est dense dans L2(R).
Soit h∈L2(R) [continue].
i) Montrer quex7→xnf(x)h(x) est dans L1(R). On suppose d´esormais que
∀n∈N, Z
R
xnf(x)h(x) dx= 0
1
ii) Montrer que g(ξ) = R
Rf(x)h(x)e−iξxdx est bien d´efinie pour ξ ∈ R, et se prolonge holo- morphiquement `a Ω ={ξ ∈C| |Imξ|< δ}. Que valent les d´eriv´ees deg en 0 ?
iii) En d´eduire que g= 0 puis quef hest nulle presque partout. Conclure.
Exercice 4. Transform´ee de Fourier de la gaussienne Soit a∈C tel que Re(a)>0. On pose
F(z) = Z +∞
−∞
e−ax2e−izxdx
i) Montrer queF est holomorphe surC. CalculerF0(z) en fonction de F(z).
ii) CalculerF(0) dans le cas o`u a∈R∗+.
iii) Montrer que l’application a 7→ F(0) est holomorphe sur D = {a ∈ C | Re(a) > 0}. En d´eduire que
F(z) =
√π
e12Logae−z2/4a (o`u Log est la d´etermination principale du logarithme).
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