Université de Bretagne Occidentale L3 EURIA - Intégration
Examen du mercredi 4 janvier 2017
Exercice I. Pour tout réelα on pose
fα(x) = xα 1−xln1
x, x∈]0,1[.
1. Montrer quefα est borélienne sur]0,1[et discuter l'intégrabilité au sens de Lebesgue sur]0,1[en fonction des valeurs deα.
2. Calculer ∂x∂αα puis montrer que tout α >−1 on a Z 1
0
xαlnxdx=− 1 (α+ 1)2. 3. Montrer que siα >−1on a
Z 1
0
fα(x)dx=
∞
X
n=1
1 (α+n)2.
Exercice II. Soit(X,T, µ)un espace mesuré. Soit f une fonction intégrable telle que pour tout A∈ T avec µ(A)>0 on ait
1 µ(A)
Z
A
f dµ∈[0,1].
1. SoientI =]− ∞,0[etJ =]1,+∞[. Montrer queµ(f−1(I)) = 0 =µ(f−1(J)).
2. En déduire quef(x)∈[0,1]pour µ-presque toutx.
Exercice III.
Soient a < b deux réels et f une fonction dénie sur R, intégrable sur [a, b+ 1], continue en a et b. Soit gn(x) =nf(x+n1)−nf(x). On rappelle que si f est continue enx0 ∈[a, b]alors lim
δ→0
1 δ
Z x0+δ x0
f(x)dx=f(x0). 1. Montrer que lim
n→∞
Z b
a
gn(x)dx=f(b)−f(a).
2. On suppose de plus quef est dérivable Lebesgue-presque partout et croissante.
2.a Justier l'existence d'une fonctiong≥0 mesurable telle quegn→g presque partout etf0 =g presque- partout.
2.b En déduire en utilisant le lemme de Fatou que Z b
a
f0(x)dx≤f(b)−f(a).
3. Monter que la fonction f(x) = 1[c,∞[(x), c ∈]a, b[, vérie les hypothèses de la question 2 et fournit un exemple pour lequel l'inégalité précédente est stricte.
4. On suppose dans cette question quef est partout dérivable sur[a, b+1]et quef0 est bornée (en particulier par le théorème des accroissements nis il existeM <∞ tel que |gn| ≤M pour toutn). Montrer que f0 est mesurable puis que
Z b a
f0(x)dx=f(b)−f(a).
2
Exercice IV. SoitF:R→Rla fonction dénie par F(λ) =
Z
R
e−x2cos(λx)dx.
1. Montrer que la fonctionF est dérivable sur R.
2. Montrer queF vérie l'équation diérentielle suivante F0(λ) +λ
2F(λ) = 0.
3. Montrer que
F(0)2 = Z
R
Z
R
exp(−x2−y2)dxdy=π en utilisant un changement de variable classique.
4. En déduire la valeur F(λ).
