Montrer que ∀n∈N, un>0

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 4 5 novembre 2018

faire au moins 2 exercices

Exercice I. (obligatoire pour tout le monde) Soit la suite vériant ∀n∈N, u_n+1 = u³_n

e⁵, avecu₀>0. 1. Montrer que ∀n∈N, un>0.

On introduit la suite auxiliaire (t_n)n∈N dénie par ∀n∈N, t_n= ln(u_n). 2. Justier que la suite (t_n)n∈N est arithmético-géométrique.

3. En déduire l'expression det_n en fonction denett₀ puis deu_n en fonction den etu₀. 4. En déduire la convergence de la suite u et donner sa limite.

Exercice II. (réservé, et obligatoire, pour les DS1<8/20)

1. En justiant, dresser le tableau de signe de g(x) = x⁵(1−2x)(x²+ 1)√ x+ 3

x²−4 .

2. Résoudre le système (S) :

( 4x²−5 ln(x) = 17

−7x²+ 8 ln(x) =−29

Exercice III.

Soit la fonctionf dénie sur R^∗ parf(x) =e^−x1.

Montrer que pour tout n ∈N, il existe un polynôme P_n de degré 2n tel que la dérivée n^e de f est dénie par :

∀x∈R^∗, f⁽ⁿ⁾(x) =P_n 1

x

e^−1x. (Par convention,f⁽⁰⁾ =f.) Exercice IV.

Créer un programme Scilab qui résout l'équation du second degréax²+bx+c= 0 : demander les trois réelsa,betc à l'utilisateur ;

calculer∆;

suivant le signe de∆, calculer et renvoyer les éventuelles solutions.

Exercice V. (long)

Discuter l'existence et le nombre de solutions du système suivant, selon les valeurs prises par le paramètre λ, et les déterminer.

(A) :

λx+y= 3 x+λy= 3

Exercice VI. (dicile)

Trouver les réels a,b,c ,d,e,f tels que ∀n∈N,

n

X

k=0

k⁴ =an⁵+bn⁴+cn³+dn²+en+f. (On pourra résoudre un système, et ensuite eectuer une démonstration par récurrence.)

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