Montrer que pour toutR >0, ∀a∈Cn, f(a

Universit´e de Lille M2R 2017-2018

Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes

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Fonctions de plusieurs variables (suite)

Exercice 1

1. Soitf :Cⁿ→C holomorphe. Montrer que pour toutR >0,

∀a∈Cⁿ, f(a) = 1 (πR²)ⁿ

Z

∆ⁿ(a,R)

f(z)dλ(z)

2. Que peut-on-dire de f : Cⁿ → C holomorphe si f ∈ L^p(Cⁿ), avec 1≤p <+∞?

3. Et sip= +∞? Exercice 2

Soit U un ouvert de Cⁿ, et f : U → Cⁿ holomorphe. On note Jac_C(f) le d´eterminant de la matrice jacobienne complexe

∂fi

∂zj

, et Jac_R(f) le d´eterminant de la diff´erentielle de f vue comme application r´eelle

Rⁿ×Rⁿ → Rⁿ×Rⁿ (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)) Montrer que Jac_R(f) =|Jac_C(f)|².

Exercice 3

Soit D un domaine de Cⁿ, et f : D → C^m holomorphe. On note k · k la norme euclidienne dans C^m.

On suppose quekfkatteint un maximum local ena∈D, et on poseb=f(a) etr =kbk. Montrer qu’alors f est constante dans D(on pourra d’abord se ramener au casr >0 et amaximum global, de sorte que f(D)⊂Br).

Exercice 4

SoitD un domaine deCⁿ etAun ensemble analytique strict : montrer que Aest ferm´e, d’int´erieur vide, et queD\A est connexe.

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Exercice 5

Soit Dun domaine de Cⁿ (n≥2). Montrer qu’il n’existe pas d’application holomorphe propre f : D → D⁰ domaine de C (pour a ∈ D, consid´erer A=f⁻¹({f(a)}) etg:D\A3z7→1/(f(z)−f(a))).

Exercice 6

On note B la boule unit´e euclidienne de Cⁿ. Soit f : B → C, on suppose que

— f est holomorphe sur l’intersection deB et de toute droite complexe passant par l’origine ;

— f est de classeC^∞ au voisinage de l’origine.

Le but est de montrer quef est holomorphe dansB.

1. Montrer qu’il existe des fonctions F_k telles que pour tout z ∈ B et toutζ dans le disque unit´e ¯∆,

f(ζz) =f(0) +

+∞

X

k=1

F_k(z)ζ^k

et queF(z) =P+∞

k=1F_k(z) est bien d´efinie.

2. Que vautf(ζζ⁰z) pour ζ, ζ⁰ ∈∆ ? Montrer que F_k(ζz) =ζ^kF_k(z).

3. Exprimer F_k(z) `a l’aide des d´eriv´ees de g:ζ 7→f(ζz) et en d´eduire queFk(z) =0 O(kzk^k) et que P

Fk converge uniform´ement sur tout compact deB.

4. Montrer que F_k est un polynˆome en z, puis que F est holomorphe dansB.

5. Conclure.

Exercice 7

Soit f(z1, z2) = z^k+2₁ z2

kzk² : v´erifier que f est de classe C^k sur C². Est-elle holomorphe ? Que peut-on en d´eduire sur le th´eor`eme prouv´e dans l’exercice pr´ec´edent ?

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