Montrer que ∀n∈N, un>0

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 4 4 novembre 2016

3 exercices au choix Exercice I.

Soit la suite vériant ∀n∈N, u_n+1 =e√

u_n, avecu₀ >0. 1. Montrer que ∀n∈N, u_n>0.

On introduit la suite auxiliaire tdénie par ∀n∈N, tn= ln(un).

2. Justier que la suite test arithmético-géométrique.

3. En déduire l'expression detn puis deun en fonction de netu0. Exercice II.

Soit la fonctionf dénie sur Rparf(x) =e^x2+1.

Montrer que pour toutn∈N, il existe un polynômeP_n de degréntel que la dérivéen^e def est dénie par :

∀x∈R, f⁽ⁿ⁾(x) =Pn(x)e^x2+1. (Par convention, f⁽⁰⁾ =f.) Exercice III.

Calculer, en utilisant les formules du cours, les sommes : S=

11

X

k=2

−2k²+ 4k−1

3 et T =

10

X

k=3

(−1)^k+1 5×(−2)^k−1. Exercice IV. (réservé DS1 ≤6/20)

Soit le polynôme P déni par P(x) =x³−3x²−24x−28.

1. Chercher les racines évidentes de P, et leur ordre de multiplicité. (ie celles éventuellement égales à 0, 1,−1,2,−2)

2. FactoriserP.

Exercice V. (sauf si l'Ex IV. est fait)

1. Factoriser le polynômeP déni par P(x) =−6x³+ 11x²+ 4x−4.

2. En déduire les solutions de l'inéquation (E) : −6e^3x+ 11e^2x+ 4e^x−4≤0. Exercice VI. (réservé DS1 ≤6/20)

Résoudre le système (S) :







x−3y+ 4z = 0

−2x−y+ 6z = 0 3x−2y−2z = 0 Exercice VII. (sauf si l'Ex VI. est fait)

Résoudre le système (S) :









 5 x² −4√

y= 3

− 3 2x² +√

4y = 2

Exercice VIII. (réservé DS1 ≤6/20)

Créer un programme Scilab qui demande trois réels à l'utilisateur, et les renvoie dans l'ordre croissant.

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Exercice IX. (dicile)

Soit la suite(un)n∈N dénie paru0= 1 et ∀n∈N, un+1 =un+n³+ 5n 6 + 1.

1. Trouver des réelsa,b,c,detetels que pour les entiersncompris entre 0 et4, on ait : un=an⁴+bn³+cn²+dn+e.

2. Démontrer par récurrence qu'en fait l'écriture vaut pour toutn∈N.

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