Université Pierre et Marie Curie Paris VI LM368-Analyse Complexe II
EXAMEN DE 21 JUIN 2012 Durée 2 heures
Les calculatrices et les documents sont interdits. Les exercices sont indépendents et ne sont pas classés par ordre de di¢ culté.
Aucun point ne sera attribué pour les a¢ rmations non-justi…ées.
Exercice 1 PosonsD=fz2C:jzj<1g.
1) Soit'; 2 O(D)telles que' = 0. Montrer que'= 0 ou = 0.
2) Soitf 2 O(D)\C D . On suppose quef = 0sur z=ei : 0 2n oùn2N est un nombre naturel …xé.
i) On considère les fonctionsgk; g:D!Cdé…nies pargk(z) =f e i2kn z , k= 0;1; ; n 1et g=g0g1 gn 1. Déterminer la fonctiong.
ii) En déduire la fonctionf.
3) Que peut-on dire d’une fonction f 2 O(D)\C D qui s’annule sur un arc du cerclefz: jzj= 1g?
Exercice 2
Soienti; j:C !C les fonctions dé…nies pari(z) =z,j(z) =z 1; z2C et on note
Aut(C ) = fjf :C !C ; f bijective; f2 O(C ); f 12 O(C ) :
Le but de cet exercice est de montrer que
Aut(C ) =ff jf = i ou g= j; 2C g: Soitf 2Aut(C ).
1) Montrer que0 n’est pas point singulier essentiel def.
2) On suppose que 0 est point singulier éliminable de f, i.e. il existe fe prolongement holomorphe def en0. Montrer que fe(0) = 0. En déduire quefe estC-linéaire.
3) On suppose que0 est pôle d’ordrekdef.
a) Montrer que0 est pôle def 1. En déduire que lim
z!1f(z) = 0.
b) Déterminer le type du point singulier 1 de f. En déduire quef(z) = Pk 1
z oùPk est un polynôme de degréktel que Pk(0) = 0.
c) Montrer quek= 1.
d)Conclure.
1
