Montrer que ∀n∈N, un>0

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 4 6 novembre 2017

Exercice I (pour tout le monde) + 2 exercices, au choix Exercice I.

Soit(u_n)n∈N la suite vériant la relation ∀n∈N, u_n+2 =√

u_nu_n+1 avec u₀ >0 et u₁ >0. 1. Montrer que ∀n∈N, u_n>0.

On considère alors la suite (wn)n∈N dénie par ∀n∈N, wn= ln(un).

2. Montrer que la suite(w_n)n∈N est récurrente linéaire d'ordre 2, en précisant la relation de récurrence.

3. Expliciterwn en fonction den, w1, w0, puis en déduireun en fonction den,u1,u0. Exercice II. (réservé DS1 ≤6/20)

1. Développer et réduire f(x) =−3(x²−2x+ 1)−(−x+ 2)(5x−4)−2x+ 4. 2. Soit le polynômeP déni par P(x) = 3x³−7x²−8x+ 20.

Chercher les racines évidentes deP, puis factoriserP. 3. Résoudre le système (S) :

( 3e^x−4y²=−2

−2e^x+ 5y² = 4

Exercice III.

Soit la fonctionf dénie sur Rparf(x) =e^−x2+x.

Montrer que pour toutn∈N, il existe un polynômeP_n de degréntel que la dérivéen^e def est dénie par :

∀x∈R, f⁽ⁿ⁾(x) =Pn(x)e^−x2+x. (Par convention,f⁽⁰⁾ =f.) Exercice IV.

Calculer, en utilisant les formules du cours, la somme S =

11

X

k=3

3

2^k−2 +k²

8 −k+ 1 4

.

Exercice V.

Créer un programme Scilab qui résout l'équation du second degréax²+bx+c= 0 : demander les trois réelsa,betc à l'utilisateur ;

calculer∆;

suivant le signe de∆, calculer et renvoyer les éventuelles solutions.

Exercice VI. (long)

Discuter l'existence et le nombre de solutions du système suivant, selon les valeurs prises par le paramètre λ, et les déterminer.

(A) :

λx+y= 2 x+λy= 2

Exercice VII. (dicile)

Trouver les réels a,b,c ,d,e,f tels que ∀n∈N,

n

X

k=0

k⁴ =an⁵+bn⁴+cn³+dn²+en+f. (On pourra résoudre un système, et ensuite eectuer une démonstration par récurrence.)

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